第1章 概率論的基本概念

現象 ：
1. 確定性現象
2. 隨機現象 在個別實驗中其結果呈現出不確定性，在大量重複試驗中其結果又具有統計規律性的現象，我們稱之爲隨機現象。

第一節 隨機試驗

1. 隨機試驗概念

第二節 樣本空間、隨機事件

1. 樣本空間概念
2. 樣本點概念
3. 隨機事件
4. 必然事件
5. 不可能事件

第三節 頻率與概率

1. 頻率的概念
2. 概率的概念
   
   • 非負性 ：對於每一事件 A ，有 P(A)≥0 ；
   • 規範性 ：對於必然事件 S ，有 P(S)=1 ；
   • 可列可加性 ：設 A1,A2,⋯ 是兩兩互不相容的事件，即對於 AiAj=∅,i≠ji,j=1,2,⋯ 有 P(A1∪A2∪⋯)=P(A1)+P(A2)+⋯
3. 概率的性質
   
   • 性質1 ：P(∅)=0
   • 性質2有限可加性 ：若 A1,A2,⋯,An 是兩兩互不相容的時間，則有 P(A1∪A2∪⋯∪An)=P(A1)+P(A2)+⋯+P(An)
   • 性質3 ：設 A,B 是兩個時間，若 A⊂B ，則有
     P(B−A)=P(B)−P(A)
     P(B)≥P(A)
   • 性質4 ：對於任一事件 A ，P(A)≤1
   • 性質5逆事件的概率 ：對於任一事件 A ，有 P(A⎯⎯⎯)=1−P(A)
   • 性質6加法公式 ：對於任意兩事件 A,B 有
     P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
   • 性質6推廣 ：對於任意三事件 A1,A2,A3 ，有
     P(A1∪A2∪A3∪)=P(A1)+P(A2)+P(A3)−P(A1A2)−P(A1A3)−P(A2A3)+P(A1A2A3)

第四節 等可能概型(古典概型)

1. 等可能概型概念

第五節 條件概率

1. 條件概率定義：設 A,B 是兩個事件，且 P(A)>0 ，稱
   P(B|A)=P(AB)P(A)
   爲在事件 A 發生的條件下事件 B 發生的條件概率。
   
   • 非負性 ：對於每一事件 B ，有 P(B|A)≥0 ；
   • 規範性 ：對於必然事件 S ，有 P(S|A)=1 ；
   • 可列可加性 ：設 B1,B2,⋯ 是兩兩互不相容的時間，則有
     P(∪∞i=1Bi|A)=∑i=1∞P(Bi|A)
   • 條件概率滿足概率的基本性質：
     P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)−P(B1B2|A)
2. 乘法定理：設 P(A)>0 ，則有
   P(AB)=P(B|A)P(A)
3. 全概率公式和貝葉斯公式
   
   • 樣本空間的劃分 ：設 S 爲試驗 E 的樣本空間，B1,B2,⋯,Bn 爲 E 的一組事件，若
   • (1) BiBj=∅,i≠ji,j=1,2,⋯,n;
   • (2) B1∪,B2∪,⋯,∪Bn=S
   • 則稱 B1,B2,⋯,Bn 爲樣本空間 S 的一個劃分。
   • 定理全概率公式 設試驗 E 的贗本空間爲 S ，A 爲 E 的事件，B1,B2,⋯,Bn 爲 S 的一個劃分，且 P(Bi)>0(i=1,2,⋯,n) 則
     P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+⋯+P(A|Bn)P(Bn)
   • 定理貝葉斯公式 設試驗 E 的樣本空間爲 S 。A 爲 E 的事件，B1,B2,⋯,Bn 爲 S 的一個劃分，且 P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,⋯,n) ，則
     P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)∑nj=1P(A|Bj)P(Bj)i=1,2,⋯,n

第六節 獨立性

1. 獨立性定義 ：設 A,B 是兩事件，如果滿足等式
   P(AB)=P(A)P(B)
   則稱事件 A,B 相互獨立。