cf Educational Codeforces Round 80 D. Minimax Problem

原題：

D. Minimax Problem
time limit per test
5 seconds
memory limit per test
512 megabytes
input
standard input
output
standard output

給你n個序列，$a_1,a_2,...,a_n$,每個序列包含m個整數。假設第x個序列的第y個元素可以表示爲$a_{x,y}$。現在需要找到兩個序列$a_i$和$a_j$，這裏i可以等於j。並且，需要構造一個新的序列b，長度爲m，對於序列b中的每個數$b_k$，要求$b_k=max(a_{i,k},a_{j,k})$，現在要求你選擇這樣兩個序列i和j，使得序列b中最小的的數最大。其中m∈[1,8]，n屬於[1,3*10^5]

Example
Input

6 5
5 0 3 1 2
1 8 9 1 3
1 2 3 4 5
9 1 0 3 7
2 3 0 6 3
6 4 1 7 0

Output

1 5

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
 
const int maxn = 3e5 + 1;
const int maxm = 8 + 1;
const ll mod = 1e9 + 7;
 
int n,m;
int a[maxn][maxm];
int line[1<<maxm];
int x,y;
 
bool solve(int mid)
{
    memset(line,-1,sizeof(line));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int tmp = 0;
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(a[i][j]>=mid)
                tmp |=(1<<(j-1));
        }
        
        if(tmp == (1<<m)-1)
        {
            x=y=i;
            return true;
        }
        
        line[tmp] = i;
    }
 
    for(int i=0;i<(1<<m);i++)
    {
        for(int j=0;j<(1<<m); j++)
        {
            if(line[i] != -1 && line[j] != -1 && (i|j) == (1<<m)-1)
            {
                x = line[i];
                y = line[j];
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int inf = 0;
    while(cin>>n>>m)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                cin>>a[i][j];
                inf = max(inf,a[i][j]);
            }
        }
        x = y = n;
        int L = 0, R = inf + 2;
        while(R - L > 1)
        {
            int mid = (L + R) >> 1;
            if(solve(mid))
                L = mid;
            else
                R = mid;
        }
        cout<<x<<" "<<y<<endl;
    }
    return 0;
}

解答：

找最小值最大的這種問題基本上都是二分，遇到數據範圍小於20的，基本上都可以往位運算上面想一想 -_-||
此題目也不例外，如果想到用二分找極大值極小，那麼問題解決了一半，首先二分枚舉可以找到的最小值mid，然後通過一個函數solve(mid)判斷當前最小值是否可以達到，如果可以達到，那麼把二分查找的區間擴大。

現在關鍵在於如何快速的判斷mid這個數是否可以在滿足題目規則要求的情況下達到。
假如選擇了兩行，$a_i$和$a_j$，兩個序列的長度是m，要選擇兩個序列中對應下標較大值組成新的序列，且滿足新序列中最小值是mid。 那麼，序列$a_i$中比mid小的數字，對應到序列$a_j$序列中的數字，一定要大於等於mid，例如。
$a_i=[5,1,0,3,4]$ $a_j=[3,4,5,2,1]$ mid = 3
序列$a_i中$比mid小的數字爲[1,0]，那麼對應到$a_j$序列中下標的數字一定要大於等於3才能滿足要求，如$a_j$中對應下標的數字是[4,5]，取最大值後得到的結果爲[5,4,5,3,4]。

那麼，可以使用位運算來進行判斷一個序列中如果數字大於等於mid，數字對應位數可以設置爲1，小於mid的可以設置爲0，那麼兩個序列可以用兩個整數表示，如果這兩個數通過取或運算後全部爲1，那麼則說明可以達到要求。這樣便滿足時間複雜度限制