讀LeetCode 股票問題的一種通用解法之後，我便寫了一個框架闖天涯，現來記錄我直接使用三維DP框架怎麼解決 Leet Code 的六個股票問題
通過上篇文章，可以肯定的是，這六道題目一定存在共性，且能夠使用一種框架解決。
接下來，我們從最難的也最泛化的 買賣股票的最佳時機 IV 入手
首先，可以想到的做法是暴力。
其次，使用DP，那麼我們就要 1. 定義狀態 2. 狀態轉移方程
第一次嘗試定義狀態：
使用一維數組表示狀態
MP[i]，表示第 i 天的 max profit， MP[n-1] 即爲所求。
寫狀態轉移方程：
每一天都會有三個操作，買入，賣出或不作爲。那麼 MP[i] 應該等於前一天的最大利潤減去第 i 天買入股票 的價格，或者加上第 i 天賣出股票的價格…那麼狀態轉移方程應該是
MP[i] = MP[i-1] + (-prices[i]) 買入
MP[i-1] + prices[i] 賣出
那麼，由題，我們只能完成一次交易後，再進行下一次交易。即只有不持股的時候才能買入，持股的時候才能賣出。可以發現一維狀態會丟失很多信息，我們需要增加狀態的維度，來表示更多信息：
MP[i][j], j = 0 或 1 來表示是否持股， 表示第 i 天持股或未持股的最大利潤
狀態轉移方程就可以這麼寫：
MP[i][0] = max(MP[i-1][0], MP[i-1][1] + prices[i]) # 括號前者表示前一天不作爲，後者表示前一天持股並賣出
MP[i][1] = max(MP[i-1][1], MP[i-1][0] - prices[i]) # 括號前者表示前一天不作爲，後者表示前一天未持股並買入
可以得到，增加狀態的一個維度，可以讓狀態具備更多信息。
那麼，可以發現，現在的狀態並沒有記錄交易次數，因此，我們乾脆再增加狀態一個維度，讓其表示可交易次數：
MP[i][k][j], k = 0~K，表示第 i 天持股或未持股且能交易 k 次的最大利潤
狀態轉移方程:
for i: 0~n-1
for k: K~0
MP[i][k][0] = max(MP[i-1][k][0], MP[i-1][k][1] + prices[i])
MP[i][k][1] = max(MP[i-1][k][1], MP[i-1][k-1][0] - prices[i]) 我們定義在買入的時候減少交易次數
上述狀態以及狀態轉移方程就是此類問題的標準框架了，對於不同的問題，稍加修改即可。
下面來確定初始狀態
MP[-1][k][0] = 0 表示還沒開始時，最大利潤爲0
MP[-1][k][1] = -inf 表示未開始時，用負無窮表示不可能持股
MP[i][0][0] = 0 表示 k = 0 時，不允許交易，最大利潤爲0
MP[i][0][1] = -inf 表示 k = 0 時，不允許交易，負無窮表示不能持股
有了之上的分析，我們就可以碼出代碼咯
def maxProfit(k, prices):
if not prices or not k: return 0
mp = [[[0, float('-inf')] for _ in range(k+1)] for _ in range(len(prices))]
for i in range(len(prices)):
for kk in range(k, 0, -1):
mp[i][kk][0] = max(mp[i-1][kk][0], mp[i-1][kk][1] + prices[i])
mp[i][kk][1] = max(mp[i-1][kk][1], mp[i-1][kk-1][0] - prices[i])
return mp[len(prices)-1][k][0]
在 leetcode 運行後，發現竟然超時了。
原因是，k 非常大的時候，就相當於沒有交易次數限制了，此時使用貪心算法是最優的。
k 多大的時候相當於沒有交易次數限制呢？
一次交易最少需要買入一天和賣出的一天，即共需 2 天，當 k >= n//2 時，就相當於沒有交易次數限制咯~
我們使用貪心處理沒有交易限制的情況：
def maxProfit(k, prices):
if not prices or not k: return 0
if k > len(prices)//2:
maxPro = 0
for sell_day in range(1, len(prices)):
maxPro = maxPro + max(prices[sell_day] - prices[sell_day-1], 0)
return maxPro
mp = [[[0, float('-inf')] for _ in range(k+1)] for _ in range(len(prices))]
for i in range(len(prices)):
for kk in range(k, 0, -1):
mp[i][kk][0] = max(mp[i-1][kk][0], mp[i-1][kk][1] + prices[i])
mp[i][kk][1] = max(mp[i-1][kk][1], mp[i-1][kk-1][0] - prices[i])
return mp[len(prices)-1][k][0]
對於 121.買賣股票的最佳時機
此時 K = 1, 直接套 DP 狀態模板，刷刷刷~ ~ ~ 直接出答案，優化什麼的之後再說唄
def maxProfit(prices):
k = 1
if not prices: return 0
mp = [[[0, float('-inf')] for _ in range(k+1)] for _ in range(len(prices))]
for i in range(len(prices)):
for kk in range(k, 0, -1):
mp[i][kk][0] = max(mp[i-1][kk][0], mp[i-1][kk][1] + prices[i])
mp[i][kk][1] = max(mp[i-1][kk][1], mp[i-1][kk-1][0] - prices[i])
return mp[len(prices)-1][k][0]
對於122.買賣股票的最佳時機 II
此時 K = infinity，我們認爲 k-1 ≈ k，則可見 k 對狀態不起作用，去掉這一維度，刷刷刷~ ~ ~直接出答案！
def maxProfit(prices):
mp = [[0, float('-inf')] for _ in range(len(prices))]
for i in range(len(prices)):
mp[i][0] = max(mp[i-1][0], mp[i-1][1] + prices[i])
mp[i][1] = max(mp[i-1][1], mp[i-1][0] - prices[i])
return mp[len(prices)-1][0]
這題，也可以套用模版中的貪心部分，dong~ ba~ chua~ 直接出答案
def maxProfit(prices):
if not prices: return 0
maxPro = 0
for sell_day in range(1, len(prices)):
maxPro = maxPro + max(prices[sell_day] - prices[sell_day-1], 0)
return maxPro
對於123.買賣股票的最佳時機 III
此時 K = 2, 直接套模板，cua~ cua~ cua~ 直接出答案！
def maxProfit(prices):
k = 2
if not prices: return 0
mp = [[[0, float('-inf')] for _ in range(k+1)] for _ in range(len(prices))]
for i in range(len(prices)):
for kk in range(k, 0, -1):
mp[i][kk][0] = max(mp[i-1][kk][0], mp[i-1][kk][1] + prices[i])
mp[i][kk][1] = max(mp[i-1][kk][1], mp[i-1][kk-1][0] - prices[i])
return mp[len(prices)-1][k][0]
對於309.最佳買賣股票時機含冷凍期
此時 K = infinity, 冷凍期含義是 如果我們在第 i-1 天賣出就不能在第 i 天購買股票。因此第 i 天買入的時候，狀態應該是第 i-2 天轉換來的，代碼如下
def maxProfit(prices):
if len(prices) < 2: return 0
mp = [[0, float('-inf')] for _ in range(len(prices))]
for i in range(len(prices)):
mp[i][0] = max(mp[i-1][0], mp[i-1][1] + prices[i])
mp[i][1] = max(mp[i-1][1], mp[i-2][0] - prices[i])
return mp[len(prices)-1][0]
對於714.買賣股票的最佳時機含手續費
此時 K = infinity, 每次交易需要繳納手續費，只需在買入或賣出的時候減去手續費即可. 套用模版，diu~ diu~ diu~ 出答案~
class Solution:
def maxProfit(prices, fee) -> int:
mp = [[0, float('-inf')] for _ in range(len(prices))]
for i in range(len(prices)):
mp[i][0] = max(mp[i-1][0], mp[i-1][1] + prices[i])
mp[i][1] = max(mp[i-1][1], mp[i-1][0] - prices[i] - fee)
return mp[len(prices)-1][0]
總結，leetcode第188題是最具範性的股票問題，自己根據此題推出三維 DP 狀態以及狀態轉移方程模板，只需稍微修改即可通過其他股票問題。
時間和空間複雜度平均 O(n^2)