錯位排列——楊子曰數學

錯位排列——楊子曰數學

超鏈接：數學合集

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首先，什麼是錯位排列？

就是你有1號物品，2號物品，3號物品……，它們都有自己對應的箱子：1號箱，2號箱，3號箱……

現在你把物品放到箱子裏，結果一個物品也沒有放對，全部都放錯了，那麼這個時候這些物品所構成的排列就被稱爲錯位排列

接下來，我們來討論錯位排列怎麼求，來簡單推導一下錯位排列總數的遞推

我們用D[i]表示i個物品的錯位排列總數

來看看D[n]怎麼算，我們現在有n個物品，n個箱子：

我們來考慮第1個物品，它只要不放到第一個箱子就行，So，有(n-1)種選擇

比方說我們把它放到2號箱子

現在我們來考慮2號物品怎麼處理

我們要進行分類討論了

1. 2號物品放到1號箱子
   一旦把2號物品放到1號箱子中以後，有沒有發現剩下的3~n號物品就是一個新的錯位排列了
   
   So，這種情況有D[n-2]種選法

2. 2號物品不放到1號箱子
   2號物品不能放到1號箱子，那麼這時的1號箱子，就相當於問題最開始的2號箱子，都不能裝2號物品
   於是你有沒有發現，紅框裏又是一個新的錯位排列問題了
   
   那麼這種情況就有D[n-1]種選法了

然後1號物品除了放在2號箱子，還可以放在3號，4號……共(n-1)種選擇

綜上所述，$D[n]=(n-1)*(D[n-1]+D[n-2])$

OK，完事

參考：
https://bubbleioa.blog.luogu.org/solution-p4071

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