威爾遜定理證明——楊子曰數學

威爾遜定理證明——楊子曰數學

超鏈接：數學合集

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這是一個很沒有用的定理（沒有任何實際應用價值，(´ｰ∀ｰ`)）：
$(p-1)!\equiv p-1 (mod \ p) \ \ \ \ \ (p爲質數)$

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證明走起

設兩個整數集合：$M=[2,p-2],N=[1,p-1]$

設$a\in M，x\in N$

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我們來證明第一件事情：a*x在x變化的時候模p下互不同餘，即$a*x \ mod\ p$與x一一對應(一個顯然的事實——$a*x \ mod\ p\in N)$

我們使用反證法：

假設存在一對$x_1 > x_2$，有$a*x_1\equiv a*x_2\ (mod\ p)$

然後就得到了：
$a*(x_1-x_2)\equiv \ 0(mod\ p)$

觀察一下這個式子：你會發現a和p互質，$(x_1-x_2)$和p互質，So，這個式子不可能成立，So，假設不成立，得證！

如果這樣的話，$a*x$可以一一表示出集合N中的每一個元素

這就說明：對於任意一個a($a \in M$)，都存在至少一個x($x \in N$)，使得$a*x\equiv1(mod\ p)$下成立

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好的，我們開始證明第二件事情：上面那個結論中的x一定取不到1，p-1,a

我依然使用反證法

一個一個來：

令x=1，得到$a\equiv1(mod\ p)$，$a\in M$取不到1，假設不成立；

令x=p-1，得到$(p-1)a\equiv1(mod\ p)$
$p*a-a\equiv1(mod\ p)$
由於在模p下，So：
$p-a\equiv1(mod\ p)$
$a\equiv p-1(mod\ p)$

$a\in M$取不到p-1，假設不成立；

令x=a,得到$a^2\equiv1(mod\ p)$
$a^2-1\equiv0(mod\ p)$
$(a-1)*(a+1)\equiv0(mod\ p)$

$a\in M$取不到1，也取不到p-1，假設不成立；

綜上所述，對於任意一個a($a \in M$)，都存在一個x($x \in N$)，使得$a*x\equiv1(mod\ p)$下成立$x\neq1,p-1,a$

既然這樣那麼x一定屬於集合M

即：對於任意一個a($a \in M$)，都存在至少一個x($x \in M$且$x\neq a$)，使得$a*x\equiv1(mod\ p)$下成立

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好的，我們來證明第三件事情：上面那個結論中a和x是一一對應的關係

這個相當好證

我們還是使用反證法：

假設存在一對$a_1 > a_2$，有$a_1*x\equiv a_2*x\ (mod\ p)$

也就是$(a_1-a_2)*x\equiv0(mod\ p)$

因爲$a_1-a_2$與p互質,x與p互質

So，假設不成立，得證，一個x只能對應一個a

然後繼續使用反證法：

假設存在一對$x_1> x_2$，有$a*x_1\equiv a*x_2\ (mod\ p)$

也就是$a*(x_1-x_2)\equiv0(mod\ p)$

因爲a 與 p互質,$x_1-x_2$與p互質

So，假設不成立，得證，一個a只能對應一個x

綜上所述，a和x一一對應

即：對於任意一個a($a \in M$)，都有且僅有一個x($x \in M$且$x\neq a$)，使得$a*x\equiv1(mod\ p)$下成立

所以我們得到的是：在集合M裏是一對一對的數，每一對中的兩個數在模p下互爲逆元（$x_1*x_2\equiv1(mod\ p)$，逆元？？）

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終於來到了最最激動人心的時刻，我們終於要開始證明最終的結論了：$(p-1)!\equiv p-1 (mod \ p) \ \ \ \ \ (p爲質數)$

首先，$p=2,p=3$的情況經過一番手算，發現滿足結論

那我們就只要關心$p\geq5$的情況：
$(p-1)!=1*2*\dots*(p-1)$
$(p-1)!=(2*3*\dots*(p-2))*(p-1)$
現在我們看第一個括號裏的東西，當$p\geq5$的時候第一個括號裏必定是偶數項，而且都屬於M，這樣一來我們把這些數搞成一對一對，使得每一對在模p下互爲逆元，這樣乘起來就變成1了

哦！！！！！！！！！！

第一個括號乘起來模p就是1！！！

$(p-1)!\equiv p-1 (mod \ p) \ \ \ \ \ (p爲質數)$得證！

OK，完事

感謝可耐滴小慕容（而又是hgoicjl講懂了可耐滴小慕容）的講解

參考：https://www.jianshu.com/p/ad5bb5b8fa7d

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