中國剩餘定理和擴展中國剩餘定理——楊子曰數學

中國剩餘定理——楊子曰數學

超鏈接：數學合集

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問：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？

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換成人話（這纔不是人話好嗎）：

解方程：
$\left\{ \begin{aligned} x & \equiv a_1(mod\ m_1)\\ x & \equiv a_2(mod\ m_2)\\ x & \equiv a_3(mod\ m_3)\\ \vdots\\ x & \equiv a_n(mod\ m_n)\\ \end{aligned} \right.$$(m_1,m_2,m_3 \cdots \cdots m_n互質，It'\ very \ important)$

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中國剩餘定理

我們先來講腫麼做，再來講爲啥可以這樣做

How to do?

1. 求出$m_i$的lcm
   比如文章最上面的那道題，我們先求出$m=lcm(3,5,7)=105$
2. 讓$M_i=\frac{m}{m_i}$
   於是，我們有了：$M_1=105/3=35，M_2=105/5=21,M_3=105/7=15$
3. 讓M_i擴大一定的倍數s，使得$s*M_i\ mod\ m_i=a_i$
   在這個例子中：$M_1\ mod\ m_1=35\ mod\ 3=2$
   歐，發現不用擴大就已經滿足了$M_1\ mod\ m_1=a_1$
   繼續，$M_2\ mod\ m_2=21\ mod\ 5=1$
   餘數需要變成3，那我們就把被除數變成原來的3倍
   也就是$63\ mod\ 5=3$
   然後，$M_3\ mod\ m_3=15\ mod\ 7=1$
   餘數得是2，那我們就要把$M_3$變爲2倍
   也就是：$30\ mod\ 7=2$
4. 把擴大後的$m_i$全部加起來，我們就得到了答案：
   $ans=M_1+M_2+M_3=35+63+30=128$
5. 如果你喜歡的話把$ans\ mod\ m(它們的lcm)$，使答案落在0~m之間
   $ans=ans\ mod\ m=128\ mod\ 105=23$
   OK，完事

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Why這樣做我們可以找到答案？

其實$M_i$就是除了$m_i$以外的其他所有$m_i$的lcm（←別忘了它們是兩兩互質的）
也就是說M_i擴大了任意被模其他$m_i$都是不受影響的

那我們就可以隨便擴大，讓$M_i\ mod \ m_i=a_i$不就好了嗎？
至於如何讓$M_i$變成我們想要的值，其實我們先要算的是$M_i$在模$m_i$下的逆元（逆元，什麼？戳），也就是我們想讓$k*M_i\ mod\ m_i=1$，這是再把$k*M_i$擴大相應的倍數，就行了

OK，完事

int china()
{
    int ans=0,lcm=1,x,y;
    for(int i=1;i<=n;i++) lcm*=m[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int M=lcm/m[i];
        ex_gcd(M,m[i],x,y);
        x=(x%m[i]+m[i])%m[i];
        ans=(ans+M*x*a[i])%lcm;
    }
    return (ans+lcm)%lcm;
}

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擴展中國剩餘定理

$\left\{ \begin{aligned} x & \equiv a_1(mod\ m_1)\\ x & \equiv a_2(mod\ m_2)\\ x & \equiv a_3(mod\ m_3)\\ \vdots\\ x & \equiv a_n(mod\ m_n)\\ \end{aligned} \right.$
一樣的方程只不過這裏的$m_i$不互質了

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它與中國剩餘定理半毛錢關係也木有~~
我們先來看一看如果只有兩個方程的情況：
$\left\{ \begin{aligned} x & \equiv a_1(mod\ m_1)\\ x & \equiv a_2(mod\ m_2)\\ \end{aligned} \right.$
這個方程組其實可以轉化成：
$\left\{ \begin{aligned} x=a_1+k_1*m_1\\ x=a_2+k_2*m_2\\ \end{aligned} \right.$
然後我們把兩式相減，就得到了：
$k_1*m_1-k_2*m_2=a_2-a_1$
哦，有沒有發現這是一個形如這個的方程：$a*x+b*y=c$

也就是說我們可以用擴展歐幾里得解決（那是什麼？戳）

於是，我們就得到了$k_1$和$-k_2$

然後$x_0=k_1*m_1+a_1$

我們也就知道了方程的通解是：$x=x_0+m*lcm(m_1,m_2)$（不停擴大或減小$lcm(m_1,m_2)$對它們的餘數是沒有影響的）

也就是說：$x \equiv x_0(mod\ lcm(m_1,m_2))$

有沒有發現我們把兩個方程合併成了 一個！！

然後不停地合併下去，我們就得到了答案！

poj2891:

#include<iostream>
#include<cstdio> 
#define ll long long 
using namespace std;

int n;

ll gcd(ll a,ll b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b); 
}

void ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(!b) x=1,y=0;
    else ex_gcd(b,a%b,y,x),y-=(a/b)*x;
}

ll mul(ll a,ll b,ll p){
    ll ans=0;
    while(b){
        if (b%2) ans=(ans+a)%p;
        a=(a+a)%p;
        b/=2;
    }
    return ans;
}


int main(){
    ll m2,a2,m,ans;
    while(~scanf("%d",&n)){
        bool flag=0;
        scanf("%lld%lld",&m,&ans);
        for (int i=2;i<=n;i++){
            scanf("%lld%lld",&m2,&a2);
            a2=(a2-ans%m2+m2)%m2;//a2-a1 
            ll d=gcd(m2,m),x,y;
            if (a2%d) flag=1;//方程無解
            ex_gcd(m,m2,x,y);
            x=mul(x,a2/d,m2);//解k1*m1-k2*m2=a2-a1 (如果你想過掉【洛谷P4777】這裏要加一個龜速乘)
            ans+=x*m;
            m*=m2/d;//m1=lcm(m1,m2) 
            ans=(ans%m+m)%m;
        } 
        if (flag) printf("-1\n");
        else printf("%lld\n",ans);  
    }
    return 0;
}

OK，完事

參考：
https://www.cnblogs.com/freinds/p/6388992.html
https://blog.csdn.net/niiick/article/details/80229217
https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/9254795.html
https://www.luogu.org/recordnew/show/19877167
https://www.luogu.org/recordnew/show/19921331

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