隨機過程的概念以及統計特性（讀書筆記）

隨機過程的概念以及統計特性（讀書筆記）

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本文是學習概率論過程中的總結

隨機過程概述

通俗的來說，隨機過程其實就是一組因爲時間t而產生關聯的隨機變量的所組成的序列。序列可以是連續的，也可以是離散的。同時，每個隨機變量也同樣可以是連續的或者離散的。
隨機過程是隨機變量的集合

• 連續型隨機過程：在時間t所允許的範圍內，任意時間都有一個對應的隨機變量，同時每個隨機變量也是連續的。
• 離散型隨機過程：在時間t所允許的範圍內，任意時間都有一個對應的隨機變量，同時每個隨機變量是離散的。
• 連續型隨機序列，在時間t所允許的範圍內，只有有限個隨機變量，但每個隨機變量也是連續的。
• 離散型隨機序列，在時間t所允許的範圍內，只有有限個隨機變量，同時每個隨機變量也是離散的。

關於樣本函數

樣本函數是隨機過程在全程時間T上進行的一次觀測結果，它也同樣可以稱作樣本曲線。下面列舉出一個典型的樣本函數：

X(ti)=Acoswti+Bsinwti

其中，A和B是獨立的正態變量。
所以說，當隨機變量A和B的值不同，那麼X(ti) 的形式就不一樣。
注意一點：樣本函數的書寫形式都是將時間t完全提取出來的，這就保證了隨機變量A和B和時間t無關，我們在理解樣本函數的時候，可以理解爲在測量之前，A和B的值已經確定了。因此在整個時間的測量上可以將A和B理解爲一個實數。樣本函數的個數也因此是有限的。

可以把隨機過程想象成一個x軸爲時間，y軸爲隨機變量的另外一個參數w，z軸爲隨機變量在參數w和時間t下的值（固定的）。而我們所確實觀測到的值就是這個3維曲面上的一條線。

隨機過程的描述

隨機過程的確切描述使用的是隨機過程的n維分佈函數族，記爲：

Fx(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn)=P{X(t1)≤x1,X(t2)≤x2,...,X(tn)≤xn)}

當n足夠大，該公式即可完整描述整個隨機過程

隨機過程的數字特徵

由於利用一般的統計方法很難確定有限維分佈函數（即確定該隨機過程）。因此，引入隨機過程的數字特徵非常重要。
- 均值函數

μX(t)=E[X(t)]

- 自相關函數

RXX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]

- 自協方差函數

CXX(t1,t2)=Cov[X(t1),X(t2)]=E[X(t1)−μx(t1)][X[t2]−μx(t2)]

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自協方差函數Cxx 或者自相關函數Rxx 都是用來描述隨機過程中，時間之間的狀態的關聯程度。

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隨機過程之間

本質上和一維隨機過程非常相似，重點在於計算兩個隨機過程之間的關聯程度。
- 互相關函數:

RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]

- 互協方差函數 :

CXY(t1,t2）=E{[X(t1)−μX(t1)][Y(t1)−μY(t2)]}

這兩個函數對於有多種隨機過程疊加的情況非常有實際作用。
(未完成）

參考《概率論和數理統計》 浙江大學