随机过程的概念以及统计特性（读书笔记）

随机过程的概念以及统计特性（读书笔记）

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本文是学习概率论过程中的总结

随机过程概述

通俗的来说，随机过程其实就是一组因为时间t而产生关联的随机变量的所组成的序列。序列可以是连续的，也可以是离散的。同时，每个随机变量也同样可以是连续的或者离散的。
随机过程是随机变量的集合

• 连续型随机过程：在时间t所允许的范围内，任意时间都有一个对应的随机变量，同时每个随机变量也是连续的。
• 离散型随机过程：在时间t所允许的范围内，任意时间都有一个对应的随机变量，同时每个随机变量是离散的。
• 连续型随机序列，在时间t所允许的范围内，只有有限个随机变量，但每个随机变量也是连续的。
• 离散型随机序列，在时间t所允许的范围内，只有有限个随机变量，同时每个随机变量也是离散的。

关于样本函数

样本函数是随机过程在全程时间T上进行的一次观测结果，它也同样可以称作样本曲线。下面列举出一个典型的样本函数：

X(ti)=Acoswti+Bsinwti

其中，A和B是独立的正态变量。
所以说，当随机变量A和B的值不同，那么X(ti) 的形式就不一样。
注意一点：样本函数的书写形式都是将时间t完全提取出来的，这就保证了随机变量A和B和时间t无关，我们在理解样本函数的时候，可以理解为在测量之前，A和B的值已经确定了。因此在整个时间的测量上可以将A和B理解为一个实数。样本函数的个数也因此是有限的。

可以把随机过程想象成一个x轴为时间，y轴为随机变量的另外一个参数w，z轴为随机变量在参数w和时间t下的值（固定的）。而我们所确实观测到的值就是这个3维曲面上的一条线。

随机过程的描述

随机过程的确切描述使用的是随机过程的n维分布函数族，记为：

Fx(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn)=P{X(t1)≤x1,X(t2)≤x2,...,X(tn)≤xn)}

当n足够大，该公式即可完整描述整个随机过程

随机过程的数字特征

由于利用一般的统计方法很难确定有限维分布函数（即确定该随机过程）。因此，引入随机过程的数字特征非常重要。
- 均值函数

μX(t)=E[X(t)]

- 自相关函数

RXX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]

- 自协方差函数

CXX(t1,t2)=Cov[X(t1),X(t2)]=E[X(t1)−μx(t1)][X[t2]−μx(t2)]

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自协方差函数Cxx 或者自相关函数Rxx 都是用来描述随机过程中，时间之间的状态的关联程度。

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随机过程之间

本质上和一维随机过程非常相似，重点在于计算两个随机过程之间的关联程度。
- 互相关函数:

RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]

- 互协方差函数 :

CXY(t1,t2）=E{[X(t1)−μX(t1)][Y(t1)−μY(t2)]}

这两个函数对于有多种随机过程叠加的情况非常有实际作用。
(未完成）

参考《概率论和数理统计》 浙江大学