[CUPOJ] 直角三角形周長 枚舉優化 題解

直角三角形周長

題目鏈接：https://www.cupacm.com/newsubmitpage.php?id=1094
這是一道非常典型的枚舉題目，以下會一步一步分析如何對枚舉進行優化。

題目描述

一個直角三角形的周長是120的話，那麼它的三邊可以是20，48，52，或者24，45，51，還有30，40，50，有3種不同的解。現在你想知道如果給定一個直角三角形的周長，那麼這個周長最多能有多少解呢？假設邊長爲整數。

輸入

第一行一個$T$,表示$T$組測試數據。$1\leq T\leq 10000$
每組測試數據佔一行僅含一個整數$A$。$0\leq A\leq 100000$

輸出

根據每組測試數據請求出以整數A爲周長的直角三角形的個數。（邊長都爲整數的直角三角形且周長爲整數A）

樣例輸入

2
12
120

樣例輸出

1
3

題解

這是一道非常典型的枚舉題目，以下會一步一步分析如何對枚舉進行優化，希望能對其他枚舉問題有所啓發。

0.三重循環

看到這道題，首先會想到枚舉三條邊，如果能符合三條邊加在一起等於周長，符合勾股定理，則滿足條件並計數。

//TLE
ans = 0;
cin >> l;
for (int i = 1; i < l; i++) {
    for (int j = 1; j < l; j++) {
        for (int k = 1; k < l; k++) {
            if (i + j + k == l && i * i + j * j == k * k) {
                ans++;
            }
        }
    }
}
cout << ans / 2 << '\n';

毫無疑問，這樣最普通的枚舉時間超限了。

1.二重循環

現在，做一點優化，指定$i\leq j$，這樣可以避免$i$與$j$重複枚舉（例如345，435是同一個答案）來節約時間，$k$作爲斜邊，直接通過$ij$和周長便可以計算出$k$，減少一重循環。

//TLE
ans = 0;
cin >> l;
for (int i = 1; i < l; i++) {
    for (int j = i; j < l; j++) {
        int k = l - i - j;
        if (i * i + j * j == k * k) {
            ans++;
        }
    }
}
cout << ans << '\n';

然而，還是TLE。

2.二重循環再優化

首先，我們先對問題進行數學分析：
已知 $i+j+k=l$ ， $0<i\leq j<k$ ，
通過不等式可以得到 $i<l/3$ ， $j<l/2$ 。
在二重循環的基礎上，對$i$和$j$的範圍進行限制

//716ms
ans = 0;
cin >> l;
for (int i = 1; i < l / 3; i++) {
    for (int j = i; j < l / 2; j++) {
        int k = l - i - j;
        if (i * i + j * j == k * k) {
            ans++;
        }
    }
}
cout << ans << '\n';

現在可以通過這道題目了，優化到了700多毫秒的時間。
再抓住兩邊之和大於第三邊的性質，但是仍然需要600毫秒的時間。

//598ms
ans = 0;
cin >> l;
for (int i = 1; i < l / 3; i++) {
    for (int j = i; j < l / 2; j++) {
        int k = l - i - j;
        if (k < i + j && i * i + j * j == k * k) {
            ans++;
        }
    }
}
cout << ans << '\n';

那麼，還能再優化嗎？

3.一重循環

讓我們重新回到數學上，2個方程2個未知數，我們可以輕鬆求出$j$關於$i$、$l$的表達式。
已知 $i+k+j=l$ ， $i^{2}+j^{2}=k^{2}$ ，
可以解得 $j=l-l^{2}/(2l-2i)$ 。
通過數學方法，我們獲得了j的表達式，再判斷一下j小於l並且j是整數便可。
這樣的程序只有一重循環了，我們將程序從一開始的超時優化到了1ms，這是枚舉常見的優化方法——利用數學方法來減少循環次數。

//1ms
ans = 0;
cin >> l;
for (int i = 1; i < l / 3; i++) {
    double j = l - (double) l * l / (2 * l - 2 * i);
    if (i < j && j - (int) j < 1e-5) {
        ans++;
    }
}
cout << ans << '\n';

總結

枚舉通過窮舉，來遍歷一個問題的所有可能，找到符合條件的可能，便是答案。
在枚舉時，應當使用數學方法來對問題進行優化，可以有效減少枚舉的次數，提高算法的效率。