【PKUWC2018】隨機算法【狀壓dp】【組合計數】

題意：一張$n$個點$m$條邊的無向無權圖，求以下算法計算最大獨立集的正確率：隨機一個排列，依次考慮排列中每一個點，如果不與任何一個獨立集中的點相鄰則將其加入獨立集。模$998244353$。

$n\leq20$

顯然這是個計數問題。

顯然是個狀壓dp。

設$f(S,i)$表示當前已經考慮完了$S$，算出最大獨立集大小爲$i$的方案數。

枚舉接下來考慮的點$j$,設$j$及與其相鄰的點中未被考慮的點的集合爲$T$。

因爲相鄰的關係是相互的，所以$j$一定是$T$中第一個被考慮的（廢話）

在考慮完$j$後，剩下的$|T|-1$個點可以在後面隨便放，並不影響後面的計算，所以認爲$T$中的點都考慮了。

即

$f(S| T,i+1)=\sum f(S,i)A_{n-|S|-1}^{|T|-1}$

最終答案爲$f(2^n-1,mx)/n!$,其中$mx$爲真正的最大獨立集大小

複雜度$O(2^nn^2)$

如果被卡常了可以在dp的時候順便把$mx$算出來，不用單獨再算

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
using namespace std;
const int MOD=998244353;
typedef long long ll;
inline int qpow(int a,int p)
{
	int ans=1;
	while (p)
	{
		if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;
		a=(ll)a*a%MOD;p>>=1;
	}
	return ans;
}
int fac[25],finv[25];
int g[25][25];
int T[25],cnt[1<<20],dp[25][1<<20];
int main()
{
	for (int i=1;i<(1<<20);i++) cnt[i]=cnt[i^(i&-i)]+1;
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	fac[0]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%MOD;
	finv[n]=qpow(fac[n],MOD-2);
	for (int i=n-1;i>=0;i--) finv[i]=(ll)finv[i+1]*(i+1)%MOD;
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		--u,--v;
		g[u][v]=g[v][u]=1;
	}
	for (int i=0;i<n;i++)
	{
		T[i]=1<<i;
		for (int j=0;j<n;j++)
			T[i]|=g[i][j]<<j;
	}
	dp[0][0]=1;
	int ans=0;
	for (int S=0;S<(1<<n);S++)
		for (int i=0;i<=cnt[S];i++)
		{
			if (!dp[i][S]) continue;
			ans=max(ans,i);
			for (int j=0;j<n;j++)
				if (!(S&(1<<j)))
					dp[i+1][S|T[j]]=(dp[i+1][S|T[j]]+(ll)dp[i][S]*fac[n-cnt[S]-1]%MOD*finv[n-cnt[S|T[j]]])%MOD;
			
		}
	printf("%lld\n",(ll)dp[ans][(1<<n)-1]*finv[n]%MOD);
	return 0;
}