【浙江大學PAT真題練習乙級】1007 素數對猜想 (20分) 真題解析

題目描述

  讓我們定義$d_{n}$爲$d_{n}=p_{n+1}-p_{n}$，其中$p_{i}$是第$i$個素數。顯然有$d_{1}=1$，且對於$n>1$有$d_{n}$是偶數。“素數對猜想”認爲“存在無窮多對相鄰且差爲2的素數”。

  現給定任意正整數N($<10^{5}$​​ )，請計算不超過N的滿足猜想的素數對的個數。

輸入格式:

  輸入在一行給出正整數N。

輸出格式:

  在一行中輸出不超過N的滿足猜想的素數對的個數。

輸入樣例:

20

輸出樣例:

4

思路解析

• c++

  這道題目的關鍵就在於找素數，用for循環判斷每個數是不是素數，如果是再與前一個素數對比，若差值爲2則計數count加1。

  素數的查找可以定義一個函數，對輸入進來的數先開方得到$k$，然後做for循環到$k$，如果能被整除則不是素數。這裏要注意任何數除1都能被整除，所以i要從2開始。

  如果沒有找到素數的話$i$就會大於$k$。如果輸入的待驗證數是1，則開方向下取整$k=1$，輸入的待驗證數是2、3同理。

• python

  上述C++的思想python實現就炸了，超時了，因此想了好久，後來還是百度去看看找素數的時間複雜度能不能降到$O(n)$，沒想到還真有，大概的意思就是先創建一個數組all_num(2-input_num)，對裏面每個數只判斷一遍是不是素數，判斷的依據就是如果一個數是之前素數的倍數，那這個數就一定不是素數(由於2是素數，所以二的倍數全部設置爲0，依此類推，如果循環到某個數大於0，就一定不是之前某個素數的倍數，就是一個素數啦)。

  有點繞，具體可以看代碼。

C++實現

#include<stdio.h>
#include<math.h>

int issushu(int num){
    int i;
    int k = (int)sqrt(num);
    for(i=2; i<=k;i++){
        if(num%i==0){
            return 0;
        }
    }
    if(i>k){
        return 1;
    }
}

int main(){
    int input_num;
    int p_nn = 0;
    int p_n = 0;
    int count_num = 0;
    scanf("%d", &input_num);
    for(int i=0; i<=input_num; i++){
        if(issushu(i)){
            p_n = p_nn;
            p_nn = i;
            if(p_nn-p_n==2){
                count_num++;
            }
        }
    }
    printf("%d", count_num);
}

Python實現

input_num = int(input())
all_num = [i for i in range(0, input_num+1)]

count = 0
p_n = 1
for i in all_num:
    if all_num[i] > 1:
        for j in range(2*i, input_num+1, i):
            all_num[j]=0
        if (all_num[i]-p_n)==2:
            count += 1
        p_n = all_num[i]

print(count)