矩陣知識：特徵值&特徵向量

一、特徵值&特徵向量

1.1 直觀印象

如果把矩陣看作是運動，對於運動而言，最重要的是運動的速度和方向，那麼：

• 特徵值就是運動的速度
• 特徵向量就是運動的方向

既然運動最重要的兩方面都被描述了，特徵值、特徵向量自然可以稱爲運動（矩陣）的特徵。

注意：由於矩陣是數學概念，非常抽象，所以上面所謂的運動、運動的速度、運動的方向都是廣義的，在現實中有不同的替代。

1.1.1 幾何意義

在下面的圖中畫出了基和向量（在$\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$爲基的空間裏有向量$\overrightarrow{v}$）

隨便左乘一個矩陣A，圖像看上去沒什麼特殊的：

這時如果調整下$\overrightarrow{v}$的方向，圖像看上去就有點特殊了

我們可以觀察到，調整後的$\overrightarrow{v}$和$A\overrightarrow{v}$在同一根直線上，只是$A\overrightarrow{v}$的長度相對$\overrightarrow{v}$變長了，我們就稱$\overrightarrow{v}$是A的特徵向量，而$A\overrightarrow{v}$的長度是$\overrightarrow{v}$的長度的$\lambda$倍，$\lambda$就是特徵值。從而，特徵值和特徵向量的定義如下：

其實之前的A不止一個特徵向量，還有另一個特徵向量：

可以看出這兩個特徵值一個大於1一個小於1.
從特徵向量和特徵值的定義還可以看出，特徵向量所在直線上的向量都是特徵向量。