一、從高斯消元法到矩陣乘法:
1.1 高斯消元法
假設存在如下的方程:
將方程化爲如下的形式是高斯消元法的目標:
思路:
首先利用第一行消去第二行和第三行的第一個元素:
接着利用第二行消去第三行的第二個元素:
接着反過來,用第三行消去第一行和第二行的第三個元素:
接着用第二行消去第一行的第二個元素:
最後達到目標:
1.2 用增廣矩陣描述高斯消元法
假設方程爲:
則增廣矩陣爲:
整個過程可以描述爲:
1.3 利用矩陣乘法:
上述過程的第一次運算用矩陣乘法可以描述爲:
多行乘法:
這一步實際表達了兩個過程:
- 第一行不變:
- 第二行改變:
用矩陣乘法則表示爲:
所以利用矩陣乘法,整個高斯消元法就可以表示如下:
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二、如何理解矩陣乘法:
一個正確的觀點是將矩陣看成是函數,這樣很多疑惑就可以迎刃而解。
2.1 矩陣是一個函數:
直線函數與矩陣:
我們熟悉的直線函數把點映射到點:
我們通過矩陣也可以完成這個映射,令:
則:
矩陣的優點:
對於 只能完成從實數到實數的映射:
但是:可以完成更廣泛的映射:
爲了完成這點,矩陣就不再是係數a了,而是一個函數(或者說是映射)
假設所在平面爲,而所在平面爲,通過矩陣映射到了,可以如下表示:
A這個映射的特別之處是,V上的直線通過A映射到W上依然是直線,所以矩陣也被稱爲線性映射。
2.2 矩陣作爲函數的工作方式:
將之前表示線性映射的3D圖變爲2D圖:
爲了繪圖方便, 所在平面V,所在平面W,都是二維平面,即
座標:
研究線性映射,最重要的是搞清楚當前處在哪個基下,首先看:
,的基默認爲各自空間向量空間下的自然基,其自然基爲(即下的自然基):
所以可以得到:
如下圖所示:
映射法則的工作原理:
爲了說清映射法則A是怎麼工作的,將A用一個空間表示,V會通過A映射到W:
設:
整個映射過程如下所示:
根據矩陣乘法的規則可以得到(可以理解爲兩個向量的一個線性組合):
則相當於在A空間中,以爲基,座標爲的向量:
再將向量用自然基表示:
整體來說,就是基改變,導致向量的座標發生改變:
注意矩陣乘法不滿足交換律
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