[劍指Offer]面試題62：圓圈中最後剩下的數字（約瑟夫環問題）

0,1,n-1這n個數字排成一個圓圈，從數字0開始，每次從這個圓圈裏刪除第m個數字。求出這個圓圈裏剩下的最後一個數字。
例如，0、1、2、3、4這5個數字組成一個圓圈，從數字0開始每次刪除第3個數字，則刪除的前4個數字依次是2、0、4、1，因此最後剩下的數字是3。
示例 1：
輸入: n = 5, m = 3
輸出: 3
示例 2：
輸入: n = 10, m = 17
輸出: 2
限制：
1 <= n <= 10^5
1 <= m <= 10^6
思路：
這道題目一般分爲兩種解法：模擬法和數學法。
模擬法顧名思義，按照題目給出的要求模擬一個循環鏈表，依次找出第m個數字，直至剩一個數字爲止。
數學法相對難理解一點，需要分析每次被刪除數字的規律，然後計算出最後剩下的數字。

• 從n個數字取出第m個數字，記爲f(n,m)
• 在n個數字中，記第一個被刪除的數字k=(m-1)%n，這裏之所以要對n取模，是要考慮到m>n的輸入。
• 取出一個數字後，剩下的數字組成了一個新的循環鏈表，k+1成爲了鏈表的起點，舊鏈表與新鏈表的映射如下：

k+1	→	0
k+2	→	1
…	…	…
n-1	→	n-k-2
0	→	n-k-1
1	→	n-k
…	…	…
k-1	→	n-2
…	…	…

• 映射p(x)=(x-k-1)%n，此時k+1爲第一個數字，即前k-1個數字接到了隊尾，因此新鏈表的序號都減去k-1，然後對n取模，保證序號不超過n-1，需要注意的是這裏涉及到了負數取模，而不同語言對負數取模的結果是不一樣的（負數取模）。
• p的逆映射$p^{-1}$(x)=(x+k+1)%n，也可以直接根據上面的映射推導出此式。
• 此時，對n-1個數字取出第n個數字，記爲f’(n-1,m)，根據映射關係可以進行如下推導：
  $f'(n-1,m)=p^{-1}[f(n-1,m)]=[f(n-1,m)+k+1]$
  代入k=(m-1)%n
  $f(n,m)=f'(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]$
  根據上式，可以用遞歸或循環計算粗最後剩下的數字。

代碼：

# LeetCode, Python3
class Solution:
    def lastRemaining(self, n: int, m: int) -> int:
        if n == 1:
            return 0
        last = 0
        for i in range(2,n+1):
            last = (last + m) % i
        return last