算法設計與分析課程複習筆記2——遞歸關係

算法設計與分析課程複習筆記2——遞歸關係

遞歸關係

遞歸關係描述的是自然數上的函數關係
對於某個n>0的函數值，通過小於n的函數值表示出來

爲什麼要分析遞歸關係？
許多算法，特別是遞歸算法，時間開銷函數都可以用遞歸關係來描述

求解方法

• 置換法（Substitution）
• 遞歸樹（Recursion Tree）
• 迭代法（Iteration）
• 主方式（Master Theorem）

置換法

1. 猜想（經驗、更換變元、先松後緊）
2. 驗證猜想對於n=$n_0$的正確性
3. 驗證猜想對於n>$n_0$的正確性

example：T(n) = 2T($\lfloor$n/2$\rfloor$) + n
猜想：T(n) = Θ(n lg n)
假設在n≥2時對於$\lfloor$n/2$\rfloor$成立,
即T($\lfloor$n/2$\rfloor$ )≤c$\lfloor$n/2$\rfloor$lg($\lfloor$n/2$\rfloor$)

T(n)= 2T($\lfloor$n/2$\rfloor$ ) + n
≤2(c$\lfloor$n/2$\rfloor$lg($\lfloor$n/2$\rfloor$ ))+n
≤cnlg(n/2)+n
=cnlgn-cnlg2+n
=cnlgn-cn+n
≤cnlgn 對於c>1

examples:
T(n) = 2T(n/2) +Θ(n) → T(n) = Θ(n lg n)
T(n) = 2T($\lfloor$n/2$\rfloor$) + n → T(n) = Θ(n lg n)
T(n) = 2T($\lfloor$n/2$\rfloor$+ 17) + n → T(n) = Θ(n lg n)

遞歸樹

迭代法

1. 展開
2. 代數運算
3. 求和

example：
$T(n)=\left\{ \begin{aligned} c　ｎ＝１\\ aT(\frac nb)+cn　ｎ＞１ \end{aligned} \right.$

$T(n)=\left\{ \begin{aligned} Θ(n)　ａ＜ｂ\\ Θ(nlog_bn) 　ａ＝ｂ\\ Θ(n^{log_ba})　ａ＞ｂ\\ \end{aligned} \right.$

主方式

example:
$T(n)=9T(n/3)+n$
a=9
b=3
f(n)=n

$n^{log_ba}$=$n^{log_39}$=Θ（n²）
f(n)=O($n^{log_39-ε}$）=n
ε=1,滿足第一式

所以T（n）=Θ($n^{log_ba}$)
T(n)=Θ($n^2$)

重點：

• 置換法（Substitution）
• 遞歸樹（Recursion Tree）
• 迭代法（Iteration）
• 主方式（Master Theorem）

參考：任課教師邱德紅教授的課件