在計算機圖形學中，網格是一種非常基本的表示方法。隨着近些年三維表面重建和Dense SLAM的興起，從海量的三維點雲數據生成單一的網格的方法得到了大量的應用。特別是在AR中，因爲交互的需要，網格生成算法經常是一個必選項。
由於工作中正好涉及到一些這方面的應用，因此想簡單介紹一下這方面的知識。以下僅討論三維情形。
本文很多內容來源於Matthew Bolitho的博士論文1。這位仁兄現在在NVidia做Director of Architecture。
算法的輸入輸出
網格生成算法的輸入一般爲三維點雲，輸出爲三維網格。輸入的點雲一般爲若干個點雲的集合。輸出的網格一般爲單一的網格。
輸入的點雲一般有如下幾種形式：
- 只包含三維座標的點雲
P={p1,...,pN}P={p1,...,pN}
- 包含三維座標和法向量的點雲
P={(p1,n1),...,(pn,nN)}P={(p1,n1),...,(pn,nN)}
- 深度圖
2D 網格R∈RN×MR∈RN×M，實際上包含了三維座標，表面法向量和鄰域信息。
輸入的點雲一般面臨着下面幾個問題，如下圖所示：
- 點雲噪聲
每個點雲都會帶有噪聲，噪聲有可能和物體表面光學性質、物體深度、傳感器性能等都有關係。
- 點雲匹配誤差
三維重建中需要將不同幀得到的點雲估計其在世界座標系下的位姿，會引入一定的位置誤差。
- 點雲分佈
分佈的不均勻性體現在（1）每個小點雲在不同的方向上分佈是不均勻的（雖然傳感器上看是均勻的）如上圖3位置，（2）不同的點雲匹配在一起時，不同位置的點雲密度是不一樣的，如上圖2位置。
- 缺失數據
掃描中如果碰到不易成像的部位（比如不可見、反光等等），那麼這部分的數據是缺失的，即點雲是不完整的。如上圖1位置所示。
對算法的要求
一般而言，我們對於輸出的網格有一定的要求。除了網格密度和精度以外，我們還希望算法
- 對點雲噪聲有一定的冗餘度。
- 能夠重建出曲率變化比較大的曲面。
- 能夠處理大數據量，算法時間和空間複雜度不會太高。
- 重建出的網格中包含儘可能少的異常三角片，比如三角片交錯在一起、表面法向量不連續或不一致、同一個位置附近出現多層三角片等。
這些要求也構成了算法的難點。
一般方法
網格生成算法可以分爲離散方法和連續方法兩大類。離散方法利用某些空間劃分方法，直接從點雲數據生成網格。連續方法利用點雲去擬合某類分佈函數，得到表面的函數表示，然後生成網格。總結見下圖。
下面簡單介紹一下兩種重建思想，都是基於連續方法的。
有符號距離函數（signed distance function）
定義SS是待重建的曲面，F:R3−>RF:R3−>R，其中F(x)F(x)定義爲xx到SS中的距離最近的點的距離。如果xx在SS外面，則距離爲正，反之爲負。那麼，
S={x:F(x)=0}S={x:F(x)=0}
典型的方法有VRIP（Volumetric Range Image Processing）。下圖是實際應用中通過VRIP生成的F(x)F(x)的一個切面。
圖中F(x)F(x)的值被灰度取代後，實際上S={x:F(x)=128}S={x:F(x)=128}
指示函數（indicator function）
對於一個給定的物體MM，定義指示函數
χM(x)=1 if x∈M and χM(x)=0 if x∉MχM(x)=1 if x∈M and χM(x)=0 if x∉M
那麼S=∂MS=∂M。
因此把重構SS的問題轉換爲重構χMχM的問題。而利用Stokes公式，可以將點雲及其法向量（χMχM的表面信息）和χMχM聯繫起來。
典型的方法是FFT重建和Poisson重建。下圖是Poisson重建方法的原理圖。
後續會分別介紹一下VRIP和Poisson，以及他們在SLAM中的應用。
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