Possion重建是Kazhdan等2006年提出的網格重建方法[1]。Possion重建的輸入是點雲及其法向量，輸出是三維網格。Poisson有公開的源代碼[2]。PCL中也有Poisson的實現。
核心思想
Possion重建是一個非常直觀的方法。它的核心思想是點雲代表了物體表面的位置，其法向量代表了內外的方向。通過隱式地擬合一個由物體派生的指示函數，可以給出一個平滑的物體表面的估計。
給定一個區域MM及其邊界∂M∂M，指示函數χMχM定義爲
這樣，把重構S=∂MS=∂M的問題轉換爲重構χMχM的問題。作者給出了將點雲及其法向量和χMχM聯繫起來的公式。作者論文中的圖1非常形象地描述了這二者的聯繫。
基本思路
對於任意點p∈∂Mp∈∂M，定義N⃗ ∂M(p)N→∂M(p)爲向內的表面法向量，F~(q)F~(q)爲一個平滑濾波器，F~p(q)=F~(q−p)F~p(q)=F~(q−p)爲F~F~沿pp方向的平移。因爲χMχM一般意義上是不好求導的，這裏用χM∗F~χM∗F~的導數來近似。
從法向量到梯度空間
梯度空間的近似
由於N⃗ ∂MN→∂M的分佈是未知的，需要通過觀測值P={(pi,ni)}P={(pi,ni)}來近似。考慮離散點集ΩΩ，∂M∂M被分割爲互不相交的區域℘s,s∈Ω℘s,s∈Ω。(1)(1)可以轉化爲積分求和，並將每個小積分近似爲常函數，用代表點s.ps.p對應的函數值和℘s℘s的面積的乘積代替。
這裏希望平滑濾波器F~F~能夠儘量地窄，不過分平滑數據，同時儘量地寬，使得積分近似能夠更準確。高斯濾波器是一種常見的選擇。
求解Possion問題
向量空間V⃗ V→和指示函數χ~χ~滿足
∇χ~=V⃗ (3)(3)∇χ~=V→
然而，V⃗ V→通常意義上是沒法積分的（爲什麼？）。爲了得到(3)(3)式的最小二乘解，將(3)(3)式兩邊求導，就得到了拉普拉斯方程
Δχ~=∇⋅V⃗ (4)(4)Δχ~=∇⋅V→
拉普拉斯方程在數學上有很詳細的研究。
實現細節
空間劃分
爲了解一個偏微分方程問題，首先要將其離散化。最簡單的方法是將空間劃分爲均勻網格。這種劃分非常佔內存空間，而且只有邊界附近的值纔是我們關心的，大量的空間被浪費了。作者採用了一種自適應的網格結構octree來劃分空間，並且octree上定義了一個函數空間FoFo。下圖給出了octree在三維空間對一個物體的劃分。物體邊緣的網格密度遠大於遠離物體的網格密度。
http://http.developer.nvidia.com/GPUGems2/elementLinks/37_octree_03.jpg
空間上的基函數選擇
如何選擇函數空間FoFo實際上挺有學問的。因爲FoFo一旦給定，定義在這個octree上的向量空間V⃗ V→和指示函數χχ都會通過FoFo的線性組合去近似。這樣，求解χχ就轉化爲求解FoFo上的參數組合，進而轉化爲求解一個線性方程組。
給定octree的深度DD，作者根據選擇了下面的基函數FF。
∗n∗n代表nn次卷積。當nn趨向於無窮時，FF趨向於高斯函數，它的定義域也越來越大。當n=3n=3時，定義域爲[−1.5,1.5]3[−1.5,1.5]3。
octree上某個節點oo對應的函數FoFo定義爲
Fo(q)≡F(q−o.co.w)1(o.w)3Fo(q)≡F(q−o.co.w)1(o.w)3
其中o.co.c是的oo中心，o.wo.w是oo的寬度。假設根節點（第0層）的寬度爲WW，那麼第dd層節點的寬度爲W2dW2d。這個函數空間和小波空間很像。
Possion求解
Possion求解方法是L2投影（L2 projection）[3]。定義octree的節點集合爲OO。向量空間V⃗ V→可以近似爲
V⃗ (q)≡Σs∈ΩΣo∈Ng(s)αo,sFo(q)s.n⃗ V→(q)≡Σs∈ΩΣo∈Ng(s)αo,sFo(q)s.n→
其中Ng(s)Ng(s)是ss的八個最近鄰的葉節點，αo,sαo,s是三線性插值的權重。
雖然V⃗ V→和χ~χ~都可以在函數空間上表示出來，Δχ~Δχ~和∇⋅V⃗ ∇⋅V→卻未必有定義。因此將(4)(4)近似爲最小化其在FoFo上的投影
Σo∥〈Δχ~−∇⋅V⃗ ,Fo〉∥2=Σo∥〈Δχ~,Fo〉−〈∇⋅V⃗ ,Fo〉∥2Σo‖〈Δχ~−∇⋅V→,Fo〉‖2=Σo‖〈Δχ~,Fo〉−〈∇⋅V→,Fo〉‖2
令χ~=ΣoxoFoχ~=ΣoxoFo，那麼求解χ~χ~即是求解xoxo。
〈Δχ~,Fo′〉=Σoxo〈ΔFo,Fo′〉〈Δχ~,Fo′〉=Σoxo〈ΔFo,Fo′〉
Σo∥〈Δχ~,Fo〉−〈∇⋅V⃗ ,Fo〉∥2=Σo′∥Σoxo〈ΔFo,Fo′〉−〈∇⋅V⃗ ,Fo′〉∥2Σo‖〈Δχ~,Fo〉−〈∇⋅V→,Fo〉‖2=Σo′‖Σoxo〈ΔFo,Fo′〉−〈∇⋅V→,Fo′〉‖2
上式右邊對x={xo}x={xo}求偏導，轉化爲
minx∥Lx−v∥2minx‖Lx−v‖2
其中，設octree的節點數爲NN，N×NN×N矩陣LL在(o,o′)(o,o′)位置上的值爲
Lo,o′≡〈∂2Fo∂x2,Fo′〉+〈∂2Fo∂y2,Fo′〉+〈∂2Fo∂z2,Fo′〉Lo,o′≡〈∂2Fo∂x2,Fo′〉+〈∂2Fo∂y2,Fo′〉+〈∂2Fo∂z2,Fo′〉
表面提取
用Marching Cubes類似的方法。注意iso的值取自SS個劃分的平均。
作者還討論了非均勻採樣下的算法，在此就不贅述。
Poisson分析
簡單列幾點
- Poisson在邊緣處的銳度比VRIP要好。這是因爲VRIP在大的邊緣處TSDF的累加會有平滑效應，而Poisson依據的是法向量，不會引入額外的平滑。
- VRIP是局部方法，每次只更新當前深度圖對應的TSDF。Poisson是全局方法。
- 從個人使用經驗上看，Poisson對於噪聲更加魯棒一些。點雲法向量估計的精度不能太差。
- 如果重建出奇怪的形狀（分層、分塊），請查看原始點雲是否平滑，是否有噪聲，調整生成網格的分辨率以適應點雲。
小結
Poisson是個好方法。
參考文獻
[1]. Kazhdan, Michael, Matthew Bolitho, and Hugues Hoppe. "Poisson surface reconstruction." Proceedings of the fourth Eurographics symposium on Geometry processing. Vol. 7. 2006.
[2]. http://www.cs.jhu.edu/~misha/Code/PoissonRecon/Version8.0/
[3]. http://www.featflow.de/en/software/featflow2/tutorial/tutorial_l2proj.html
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