一、歐幾里得算法（輾轉相除法）
1、問題：求解兩個非負整數a、b的最大公約數。
2、算法理解：假設整數d是a、b的公約數，即d能整除a和b。令r=a%b（a對b取餘），則d也是r的一個約數。理解爲a中除去b的整數倍部分，剩餘的部分也一定是d的整數倍。因爲d既是b的約數，又是r的約數，所以d是b和r的公約數！由於這裏的d是一般假設的，所以可知a和b所有的公約數d都是b和r的公約數，所以b和r的最大公約數一定就是a、b的最大公約數。將b、r作爲新的a、b，按此規律層層下剝，最後當a能整除b，則它的下一次a，b兩個數變成b和0，最大公約數便是此時的b了。
3、Java代碼實現：
/**
* 返回兩個非負整數的最大公約數。
* @param num1
* @param num2
* @return
*/
public static int operation1(int num1,int num2){
if(num2==0)//分母爲0，則分子num1爲最大公約數。
return num1;
int r=num1%num2;
return operation1(num2,r);//num2和r的最大公約數即爲原num1和num2的最大公約數。
}
上述方法體更簡潔的寫法是：
return num2==0?num1:operation1(num2,num1%num2);
根據輾轉相除的思想也可用循環實現:
public static int operation2(int num1,int num2){
if(num2==0)
return num1;
int r;//餘數。
while(num2!=0){
r=num1%num2;//num2和r的最大公約數即爲原num1和num2的最大公約數。
num1=num2;
num2=r;
}
return num1;
}
二、擴展歐幾里得算法
1、問題：
一句話，求滿足條件：ax+by=r的x、y的值，其中a、b爲不全爲0非負整數，r爲a和b的最大公約數，
x、y均爲整數。
2、算法理解：
設ax1+by1=gcd(a,b)=r,由歐幾里得算法則有bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b)=r,因爲等式右邊r保持不變，
便有：ax1+by1=bx2+(a%b)y2
又a%b=(a-[a/b]*b), 其中[a/b]表示a/b結果取整,所以上式
變爲：ax1+by1=bx2+(a-[a/b]*b)y2,
整理得：ax1+by1=ay2+b(x2-[a/b]),兩邊對應起來，
則有：x1=y2,y1=x2-[a/b]
由歐幾里得算法逐次遞歸下去，每“相鄰”兩層都會滿足上述等式關係，由於最後一層有等式：
ax+by=r，其中b=0,r=a，得出：x=1,y=0。
從最後依次回代入上一層，最終便可得出x1，y1的值，有此也可知，x1，y1的值是唯一的。
3、Java代碼實現：
public static int gcdExtends(int num1,int num2){
if(num2==0){
x=1;
y=0;
return num1;
}
int r=gcdExtends(num2,num1%num2);
int temp=x;
x=y; //由公式演算可得“相鄰”兩組x、y的關係。
y=temp-num1/num2*y;
return r;
}