P2308 添加括號-動態規劃，區間dp，前綴和，dfs

給定一個正整數序列a(1)，a(2)，...，a(n),(1<=n<=20)

不改變序列中每個元素在序列中的位置，把它們相加，並用括號記每次加法所得的和，稱爲中間和。

例如:

給出序列是4，1，2，3。

第一種添括號方法:

((4+1)+(2+3))=((5)+(5))=(10)

有三個中間和是5，5，10，它們之和爲:5+5+10=20

第二種添括號方法

(4+((1+2)+3))=(4+((3)+3))=(4+(6))=(10)

中間和是3，6，10，它們之和爲19。

現在要添上n-1對括號，加法運算依括號順序進行，得到n-1箇中間和，求出使中間和之和最小的添括號方法。

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2308

動態規劃部分比較好想，還是區間dp，類似石子合併，要預處理出前綴和；

套路：枚舉長度，枚舉左端點，求出右端點，枚舉斷點；

用ans[i][j]數組記錄區間i,j選擇的斷點是哪一個，斷點一定是“）（”這樣的；

這題的難點就在於加括號；

用類似dfs的方法記錄每個數字左側和右側需要加的括號數量；

再dfs一邊輸出前綴和；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[201],f[201][201],sum[201],ans[201][201],la[201],ra[201];
int n;
void solve(int l,int r)
{
    if(l==r) return;
    ++la[l];
    ++ra[r];
    solve(l,ans[l][r]);
    solve(ans[l][r]+1,r);
}
void work(int l,int r)
{
    if(l==r) return;
    work(l,ans[l][r]);
    work(ans[l][r]+1,r);
    cout<<sum[r]-sum[l-1]<<" ";
}
int main()
{
    cin>>n;
    memset(f,127/3,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];f[i][i]=0;
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    for(int l=2;l<=n;l++){
        for(int i=1;i<=n-l+1;i++){
            int j=i+l-1;
            for(int k=i;k<=j;k++){
                if(f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]<=f[i][j]){//<=
                    f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
                    ans[i][j]=k;
                }
                
            }
        }
    }
    solve(1,n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=la[i];j++){
            cout<<"(";
        }
        cout<<a[i];
        for(int j=1;j<=ra[i];j++){
            cout<<")";
        }
        if(i!=n) cout<<"+";
    }
    cout<<endl;
    cout<<f[1][n]<<endl;
    work(1,n);
    return 0;
}