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1 问题描述
我们发现,在int型下使用pow函数求5的三次方,结果为124。
2 原因分析
pow函数的返回值为double型,因浮点数长度问题,存在截断误差。
3 解决方法
将变量定义为double型
有没有更快求幂的方法?
4 快速幂讲解
假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次,这样一来时间复杂度是O(b),即是O(n)级别。但快速幂能做到O(logn)的复杂度。
快速幂:
对于二进制的位运算,我们需要用到 "&" 与 ">>" 运算符,详见位运算符的应用
先上实现快速幂运算的具体代码:
long long ksm(long long a, long long b) {
long long ans = 1, base = a;
while(b != 0) {
if(b & 1 != 0) {
ans *= base;
}
base *= base;
b >>= 1;
}
return ans;
}
其中“b & 1”指取b的二进制数的最末位,如11的二进制数为1011,第一次循环,取的是最右边的“1” ,以此类推。
而“b >>= 1”等效于b = b >> 1,即右移1位,删去最低位。
以a^11为例:
b的二进制数为1011,二进制从右向左算,但乘出来的顺序是,是从左向右的。我们不断的让
目的是累乘,以便随时对ans做出贡献。
要理解
这一步:因为
==
,下一步再乘,就是(
) * (
) ==
,然后同理(
) * (
) ==
,由此可以做到
→
→
→
→
→
.......指数正好是
。再看上面的例子,
=
,这三项就可以完美解决了,快速幂就是这样。
如还有不明白的地方,建议手动模拟代码的运行过程。
5 快速乘讲解
我们知道,在计算机中做加法运算会比乘法快得多(参考模电中的加法器),做乘法运算往往会溢出,即使用long long类型也拯救不了。因此需要寻找一种能高效完成乘法运算且不会溢出的算法,这就是快速乘算法。
快速乘与快速幂原理相似,也是将运算转换为二进制处理:
以a * 11为例:
就是把快速幂中的 * 号改为+号
long long ksc(long long a, long long b) {
long long ans = 0;
while(b != 0) {
if(b & 1 != 0) {
ans += a;
}
a += a;
b >>= 1;
}
return ans;
}
此版本的复杂度和快速幂一样,也是O(logn)。如果需要特别卡常数,可以去了解O(1)版本的快速乘。
6 完整代码
为了防止溢出,一般快速幂和快速乘的算法会在mod下运用,下面给出取模运算代码。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e7;
//a ^ b
ll ksm(ll a, ll b, ll mod) {
ll ans = 1, base = a;
while(b != 0) {
if(b & 1 != 0) {
ans = (ans * base) % mod;
}
base = (base * base) % mod;
b >>= 1;
}
return ans;
}
//a * b
ll ksc(ll a, ll b, ll mod) {
ll ans = 0;
while(b != 0) {
if(b & 1 != 0) {
ans = (ans + a) % mod;
}
a = (a + a) % mod;
b >>= 1;
}
return ans;
}
int main() {
cout << "5 ^ 3 = " << ksm(5, 3, mod) << endl;
cout << "345352 * 11 = " << ksc(345352, 11, mod) << endl;
return 0;
}
运算结果:
7 References
以上,有问题欢迎指正!