令 gcd(m,n)=x 即是m，n的最大公約數爲x
令 m%n=a 則 m=kn+a ， kn+a 與 n的最大公約數爲x
則有 kn/x + a/x 爲整數 , n/x爲整數 那麼必有 a/x爲整數
則 x 也爲 a 和 n的約數
下面證明最大
假設存在一個數 y 爲 a和n的最大公約數 gcd(n,m%n)=gcd(n,a)=y>x
那麼 a/y ， n/y都爲整數 ，則 ( kn+a )/y 也爲整數，即是 m/y 爲整數，而y>x，那麼m,n的最大公約數就爲y
則與 m，n的最大公約數爲x 矛盾
故 gcd(m,n)=gcd(n,m%n)