SVM理论疏导——什么是超平面

超平面是一种数学上的概念，它是线上的一个点，也是平面上的一条直线，也是三维空间的一张平面。前面说的点、线、平面都可以是超平面，但一般都不叫为超平面，因为超平面是点、线、平面的推广，即大于三维的才叫超平面。
超平面是相对的，一般说起它，都会带上一个参照物，如这堆样本集需要找到一个超平面来划分，这里的超平面的维度实际上是样本集的维度减一。

百度百科上对超平面的数学定义是这样的：超平面H是从n维空间到n-1维空间的一个映射子空间

下面是n维空间下超平面的一个线性方程：

其中，w 和 x 都是 n 维列向量，x 为平面上的点，w 为平面上的法向量，决定了超平面的方向，b 是一个实数，决定了超平面与原点的距离。

下面解释为什么w是法向量：

设定一二维方程为：
ax + 1/by + c = 0 (1)
(1)式转换一下为：
y = -abx -cb (2)
在这条（2）式直线上的点集设为i(x,y)，则
i(x,y) = i(x,-abx-cb) = x(1,-ab) + (0,-cb)

上式意味着向量m（1，-ab）是该直线的方向，并且通过（0，-cb）这个点。令一个向量为n（a，1/b），可以发现m*n等于0。两个向量只有垂直相乘才会为0，m向量是该直线的方向，故n向量就是该直线的法向量。

故（1）式等价于：
（a,1/b)(x,y) + c = 0 或 （a,1/b)(x,y+bc) = 0 （3）
利用式（3）进一步解释什么是超平面：
给定向量空间 Rn 中的一个点 P 和一个非零向量n ,满足

则称点集 i 为通过点p 的超平面，向量 n为通过超平面的法向量。按照这个定义，虽然当维度大于3才可以成为“超”平面，但是你仍然可以认为，一条直线是 R2 空间内的超平面，一个平面是 R3 空间内的超平面 。Rn 空间的超平面是Rn 空间内的一个 n - 1 维的仿射子空间。

样本空间中的任意一点 x，到超平面（w,b）的距离，可以表示为：

下面证明下：

设一个超平面公式如下：

超平面有一个点为x‘，故可得：

对于空间上任一点x，它到超平面的距离实际上等于x‘x向量在超平面法向量上的投影（纸上稍微画下即可知道）。

两个向量u、v的投影计算为：

所以距离就是将 xx’ 乘以法向量 w 的单位向量即可。

一个超平面可以将它所在的空间分为两半, 它的法向量指向的那一半对应的一面是它的正面, 另一面则是它的反面。如果利用数学来判断的话，需要利用到法向量 w。

1. 为什么超平面一定过原点
2. 上述超平面方称，b 是一个实数，为什么代表超平面到原点的距离？