偏導數
我們都知道導數是一元函數的變化率，衡量每個x位置處的瞬間變化率。
偏導數是針對多變量函數而言的，它通過將多變量函數退化成一元函數分別求各自的導數。以二元函數爲例：
Z = F（x，y）
求x的偏導數就是將y變量看成常量，然後對x求導。
總結：偏導數爲函數在每個位置處沿着自變量座標軸方向上的導數（切線斜率）。
梯度
梯度指的就是各個偏導數構成的向量，寫作∇f，二元時爲(∂z/∂x,∂z/∂y)，多元時爲(∂z/∂x,∂z/∂y,…)
梯度是一個向量，既有大小又有方向
梯度的意義在後面講到方向導數會體現出來。
方向導數
前面講的偏導數是函數沿着某個座標軸方向的導數，但如果是任一方向呢？它的導數又該如何計算？
定義xy平面上一點(a,b)以及單位向量u =(cosθ,sinθ)，在曲面z=f(x,y)上，從點(a,b,f(a,b))出發，沿u =(cosθ,sinθ)方向走t單位長度後，函數值z爲F(t)=f(a+tcosθ,b+tsinθ)，則點(a,b)處u =(cosθ,sinθ)方向的方向導數爲：
總結：任意方向的方向導數爲偏導數的線性組合，係數爲該方向的單位向量。當該方向與座標軸正方向一致時，方向導數即偏導數。
方向導數與梯度的關係
方向導數還可以進行下面的轉換，從而直觀顯示方向導數和梯度的關係。
ϕ爲∇f(a,b)與u向量的夾角，顯然夾角爲0時，方向導數最大，最大值爲梯度的模。當ϕ=π即u與梯度∇f(a,b)反向時，方向導數取得最小值，最小值爲梯度模的相反數。
梯度的幾何意義：
方向：梯度的方向就是函數在該位置的方向導數的最大方向，即函數值上升最快的方向。
大小：梯度的模是最大方向導數的值。
等高線的梯度
等高線，顧名思義，即這條線上的點高度（函數值）相同，令某一條等高線爲z=f(x,y)=C，C爲常數。
等高線上任一點p的導數爲dy/dx，則它的法向量爲其負導數。由隱函數的求導公式可得：
梯度爲向量(∂f/∂x,∂f/∂y)，則其方向爲
由此可見，梯度的方向與等高線切線的法向量方向是相同的
小結
- 偏導數構成的向量爲梯度；
- 方向導數爲梯度在該方向上的合成，係數爲該方向的單位向量；
- 梯度方向爲方向導數最大的方向，梯度的模爲最大的方向導數值；
- 梯度垂直於等高線，同時指向高度更高的等高線；
- 隱函數可以看成是一種等高線，其梯度爲高維曲面（曲線）的法向量