前言
看了好多博客抄來抄去，沒有一個把事情說清楚的。當然也可能是我蠢看不懂人家高深的論述...
最終找到一篇我能看懂的帖子，現在用我的思路複述一遍...
如果你看我的帖子看不明白，可以選擇移步原帖 地址：https://www.cnblogs.com/cmmdc/p/7216726.html
我相信這篇你一定能看懂，拿上紙筆跟我一起推公式，廢話不多說...
什麼是約瑟夫環問題
現在有n個人，從1編號至n。編號爲1的人開始報數，當報到key時，報數爲key的人出局。從key+1個人的位置繼續從1開始報數。一直循環。試問最後一個出局人的人是誰？
乾貨! 乾貨! 乾貨!
我們把這n個人從0開始編號。這樣做是因爲key是有可能大於n的，所以出局的人編號應該是key%n，顯然key也可能等於n，這就導致key%n=0 所以爲了描述方便，我們從0開始編號，所以對我們來說 數到key-1的那個人出列。
所以現在這些人的順序是 0 1 2 ... n-2 n-1
顯然出局人的序號將是(key-1)%n。那麼下一次報0的人在原序列中的序號就將是 key%n，記爲k1
我們重新進行排列，將k1作爲第一個人, 剩下的n-1個人將得到如下序列
k1, k1+1, k1+2, ... , 0, 1, 2 ... k1-3, k1-2 （k1-1已經出局了）
這樣就清楚多了，k1將從0開始報數，於是報數序列如下
0, 1, 2, ... n-3, n-2
於是我們發現了這樣的對應關係
新編號 <--> 舊編號
0 <--> k1
1 <--> k1+1
2 <--> k1+2
...
根據規律我們得到
n-2 <--> k1+(n-2)
但是注意k1+(n-2)是可能大於當前總人數的，所以我們需要對它取模，於是真正的對應關係是
n-2 <--> (k1+(n-2))%n （這裏n是舊隊列的總人數）
如果我們假設新編號是ans，那麼新編號和舊編號之間的對應關係就是
ans <--> (k1+ans)%n
好了不難看到，我們得到的新隊列並重新編號之後，現在的問題是
求這個 0, 1, 2, ... n-3, n-2 隊列中出局的是誰
事實上這是一個n-1階約瑟夫環問題。我們已經得到了遞推公式，但如果你還沒明白的話我們再來重複上面的過程
在這樣的隊列中 出局的人將是 (key-1)%n2 (這裏n2是指當前隊列總人數，爲了和上面的n區分)。我們又可以知道下一個報0的人的編號將是key%n2，記這個數爲k2
於是我們將k2放在隊首
k2, k2+1, k2+2, ... 0, 1, 2, k2-3, k2-2 (k2-1已經出局了)
對應每個人將要報的口號將是
0, 1, 2, ... , n-4, n-3
所以這又變成了一個n-2階約瑟夫環問題
好了，禁止套娃
現在我們來考慮一下，我們已經將新隊列中的口號和舊隊列中的口號建立了關係，那麼我們只需要知道新隊列中的口號就可以求出舊隊列中的口號。現在我們假設新隊列中的口號爲ans，那麼對應舊隊列中的口號將是 (ki + ans)%ni
遞推公式怎麼來的呢？
假設在新隊列(n-1階問題)中出局的人的編號是 out ，那麼舊隊列(n階問題)中他的編號就是 （kn+out)%nn(第二個n是角標)。
而kn實際上就是m%n，（還記得我們之前怎麼定義的k嗎）
！於是n階Joseph問題的解將是n-1階Joseph問題的解通過 (kn + Joseph(n-1))%nn(第二個n是角標) 得到的！
所以我們就有了如下遞推公式
f(n,m)=(f(n-1,m)+m%n)%n
這個公式已經不影響你寫代碼了。但是它還是可以化簡一下。
我們知道 (f(n-1,m)+m%n)%n = (f(n-1,m)%n,m%n%n)%n
又有右半部分 (f(n-1,m)%n + m%n%n)%n = (f(n-1,m)%n + m%n)%n = (f(n-1,m)+m)%n
最終我們的遞推關係式如下
f(n,m) = (f(n-1,m)+m)%n
附上Java代碼
當然業務代碼裏我們最終得到的值要加上 1，因爲我們報數的時候是從0開始報的。
public int joseph(int sum,int word){
if (sum == 1){
return 0;
}
return (joseph(sum-1,word)+word)%sum;
}
最後想說的
又回到了做高中數學題的感覺。但這總比公式來得不明不白強不是？ 數學方法還是很好理解的，能推導就不要用嘴說。
完結撒花~ Yes！明天更點JVM的內容吧...