【BZOJ2669】局部極小值（容斥原理+狀壓dp）

題意：有一個n$n$ 行m$m$ 列的整數矩陣，其中1$1$ 到nm$nm$ 之間的每個整數恰好出現一次。如果一個格子比所有相鄰格子（相鄰是指有公共邊或公共頂點）都小，我們說這個格子是局部極小值。給出所有局部極小值的位置，你的任務是判斷有多少個可能的矩陣。（1<=n<=4,1<=m<=7）$（1<=n<=4,1<=m<=7）$

首先，我們會發現最多隻有8$8$ 個局部極小值（這個不難想，不會的自己想一想），於是我們可以暴力dfs$dfs$ 出所有的局部極小值的情況（保證原本規定的位置必爲局部極小值），然後得到一些局部極小值的位置，它們的集合爲S$S$ 。
然後考慮從1$1$ 到i$i$ 一個一個數填進去。同時用狀壓處理。我們用dpi,j$d{p}_{i,j}$ 表示當前狀態爲j$j$ ，已經填入1$1$ 到i$i$ 時的方案數。
於是狀態轉移方程：dpi,j=dpi−1,j+gj−i+1+∑k∈jdpi−1,j−{k}$d{p}_{i,j}=d{p}_{i-1,j}+g_j-i+1+\sum _{k\in j}d{p}_{i-1,j-\{k\}}$
其中gj$g_j$ 表示狀態j$j$ 除這些局部極小值及其八相鄰的方格之外還有多少個方格，這個我們可以預處理出來。
求出這些之後，對於集合S，dpnm,|s|$d{p}_{nm,|s|}$ 就是保證了原給定的局部極小值必定成立，但不能保證其它位置不是局部極小值的一種情況的答案。求出所有的這些之後，容斥一下就可以了。
如果有誤在評論區吼一聲哦！
代碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int px[]={0,0,1,-1,1,-1,1,-1},py[]={1,-1,1,-1,-1,1,0,0},mod=12345678;
int n,m,ans,tot,mp[6][10],vis[6][10],dp[30][(1<<8)+10],x[10],y[10],g[(1<<8)+10];
char s[10];
int DP(){
    tot=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            if(mp[i][j]){
                x[tot]=i;
                y[tot++]=j;
            }
    for(int i=0;i<(1<<tot);i++){
        g[i]=n*m;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(int j=0;j<tot;j++)
            if(!(i&(1<<j))){
                for(int k=0;k<8;k++){
                    int tx=x[j]+px[k],ty=y[j]+py[k];
                    if(tx<=n&&ty<=m&&tx>0&&ty>0&&!vis[tx][ty]){
                        vis[tx][ty]=1;
                        g[i]--;
                    }
                }
                g[i]--;
                vis[x[j]][y[j]]=1;
            }
    }
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n*m;i++){
        for(int j=0;j<(1<<tot);j++){
            dp[i][j]=1ll*dp[i-1][j]*max(g[j]-i+1,0)%mod;
            for(int k=0;k<tot;k++){
                if(j&(1<<k)){
                    dp[i][j]+=dp[i-1][j^(1<<k)];
                    if(dp[i][j]>=mod)
                        dp[i][j]-=mod;
                }
            }
        }
    }
    return dp[n*m][(1<<tot)-1];
}
void dfs(int x,int y,int k){
    if(x==n+1){
        ans+=k*DP();
        if(ans>=mod)
            ans-=mod;
        if(ans<0)
            ans+=mod;
        return;
    }
    if(y==m+1){
        dfs(x+1,1,k);
        return;
    }
    dfs(x,y+1,k);
    if(mp[x][y])
        return;
    for(int i=0;i<8;i++)
        if(mp[x+px[i]][y+py[i]])
            return;
    mp[x][y]=1;
    dfs(x,y+1,-k);
    mp[x][y]=0;
    return;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%s",s+1);
        for(int j=1;j<=m;j++)
            mp[i][j]=(s[j]=='X');
    }
    dfs(1,1,1);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}