gcd(a,b)=gcd(b,a%b) a>0, b>0
证明: 假设最大公约数为c 则a=kc,b=jc (k,j均为整数)
① 由于c为最大公约数 ,所以k,j必然互质。
②另r=a mod b 则 a = bm+r 由此可得 r=a-bm = a - mjc = (k-mj)c
③ 我们现在要证明的命题是gcd(a,b)=gcd(b,a%b) ,已知gcd(a,b)=c,现只需证明gcd(b,r)=c,即gcd(jc,(k-mj)c)=c,即j与k-mj互质,显然,若j与k-mj不互质则j与k不互质,矛盾,所以gcd(b,r)=c。