【遞推型 dp】C002_LC1_柵欄染色（爬樓梯變形 / 滾動壓縮）

一、Problem

我們有一個柵欄，它有n個柱子，現在要給柱子染色，有k種顏色可以染。
必須保證不存在超過2個相鄰的柱子顏色相同，求有多少種染色方案。

輸入: n=3, k=2  
輸出: 6
Explanation:

      post 1,   post 2, post 3
way1    0         0       1 
way2    0         1       0
way3    0         1       1
way4    1         0       0
way5    1         0       1
way6    1         1       0

二、Solution

方法一：dp

• 定義狀態：
  • $f[i]$ 表示染完前 $i$ 個柵欄的可行方案數
• 思考初始化：
  • $f[0] = k、f[1] = k^2$，爲什麼是 $k^2$ 而不是 $k × (k-1)$，其實是的，但是不要忘記 $f[i]$ 的含義是：染完前 $2$ 個柵欄的可行方案數，所以 $f[1] = k × (k-1) + f[0] = k^2 - k + k = k^2$
• 思考狀態轉移方程：
  • $f[i] = f[i-1) × (k-1) + f[i-2] × (k-1) == (f[i-1] + f[i-2]) × (k-1))$
• 思考輸出：$f[n-1]$

public class Solution {
    public int numWays(int n, int k) {
        if (n == 1) return k;
        if (n == 2) return k*k;
        
    	int f[] = new int[n];
    	f[0] = k;
    	f[1] = k*(k-1) + f[0];
    	for (int i = 2; i < n; i++) {
    		f[i] = (f[i-1] + f[i-2])  × (k-1);
    	}
    	return f[n-1];
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n)$，
• 空間複雜度：$O(n)$，

---

方法二：空間壓縮

染到第 i 個柵欄的方案數之和前 i-1 和前 i-2 個有關，所以只需要狀態轉移之後，交換一下 f[i]、f[i-1]、f[i-2] 的位置即可…

複雜度分析

• 時間複雜度：$O()$，
• 空間複雜度：$O()$，