【遞推型 dp】B005_LC_擲骰子模擬（與本次數字相同或不相同）

一、Problem

有一個骰子模擬器會每次投擲的時候生成一個 1 到 6 的隨機數。

不過我們在使用它時有個約束，就是使得投擲骰子時，連續 擲出數字 i 的次數不能超過 rollMax[i]（i 從 1 開始編號）。

現在，給你一個整數數組 rollMax 和一個整數 n，請你來計算擲 n 次骰子可得到的不同點數序列的數量。

假如兩個序列中至少存在一個元素不同，就認爲這兩個序列是不同的。由於答案可能很大，所以請返回 模 10^9 + 7 之後的結果。

輸入：n = 2, rollMax = [1,1,2,2,2,3]
輸出：34
解釋：我們擲 2 次骰子，如果沒有約束的話，共有 6 * 6 = 36 種可能的組合。
但是根據 rollMax 數組，數字 1 和 2 最多連續出現一次，所以不會出現序列 (1,1) 和 (2,2)。因

提示：

1 <= n <= 5000
rollMax.length == 6
1 <= rollMax[i] <= 15

二、Solution

方法一：dp

• 定義狀態：
  • $f[i][j][k]$ 表示第 $i$ 次扔出數字 $j$ 且數字 $j$ 連續出現 $k$ 次的方案數。
• 思考初始化：
  • $f[1][1...6][1] = 1$
• 思考狀態轉移方程：
  • 如果 $k > 1$，$f[i][j][k] = f[i-1][j][k-1]$
  • 如果 $k = 1$，$f[i][j][k] =$ $\sum_{1}^{6} f[i-1][j][1...rollMax[j]]$
• 思考輸出：$f[n][1...6][1...rollMax_j]$

class Solution {
    public int dieSimulator(int n, int[] rm) {
        int mod = (int) 1e9+7, f[][][] = new int[n+1][7+5][16];
        for (int j = 0; j < 6; j++) f[1][j][1] = 1;

        for (int i = 2; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j < 6; j++)
        for (int k = 1; k <= rm[j]; k++) {
            if (k > 1) {
                f[i][j][k] = f[i-1][j][k-1];
            } else {
                int sum = 0;
                for (int jj = 0; jj < 6; jj++) if (jj != j) {
	                for (int kk = 1; kk <= rm[jj]; kk++) 
	                    sum = (sum + f[i-1][jj][kk]) % mod;
                }
                f[i][j][k] = sum;
            }
        }
        int ans = 0;
        for (int j = 0; j < 6; j++)
        for (int k = 1; k <= rm[j]; k++)
            ans = (ans + f[n][j][k]) % mod;
        
        return ans;
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n × 6 × rollMax_i)$，
• 空間複雜度：$O(n × 6 × rollMax_i)$，