【递推型 dp】C002_LC1_栅栏染色（爬楼梯变形 / 滚动压缩）

一、Problem

我们有一个栅栏，它有n个柱子，现在要给柱子染色，有k种颜色可以染。
必须保证不存在超过2个相邻的柱子颜色相同，求有多少种染色方案。

输入: n=3, k=2  
输出: 6
Explanation:

      post 1,   post 2, post 3
way1    0         0       1 
way2    0         1       0
way3    0         1       1
way4    1         0       0
way5    1         0       1
way6    1         1       0

二、Solution

方法一：dp

• 定义状态：
  • $f[i]$ 表示染完前 $i$ 个栅栏的可行方案数
• 思考初始化：
  • $f[0] = k、f[1] = k^2$，为什么是 $k^2$ 而不是 $k × (k-1)$，其实是的，但是不要忘记 $f[i]$ 的含义是：染完前 $2$ 个栅栏的可行方案数，所以 $f[1] = k × (k-1) + f[0] = k^2 - k + k = k^2$
• 思考状态转移方程：
  • $f[i] = f[i-1) × (k-1) + f[i-2] × (k-1) == (f[i-1] + f[i-2]) × (k-1))$
• 思考输出：$f[n-1]$

public class Solution {
    public int numWays(int n, int k) {
        if (n == 1) return k;
        if (n == 2) return k*k;
        
    	int f[] = new int[n];
    	f[0] = k;
    	f[1] = k*(k-1) + f[0];
    	for (int i = 2; i < n; i++) {
    		f[i] = (f[i-1] + f[i-2])  × (k-1);
    	}
    	return f[n-1];
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，
• 空间复杂度：$O(n)$，

---

方法二：空间压缩

染到第 i 个栅栏的方案数之和前 i-1 和前 i-2 个有关，所以只需要状态转移之后，交换一下 f[i]、f[i-1]、f[i-2] 的位置即可…

复杂度分析

• 时间复杂度：$O()$，
• 空间复杂度：$O()$，