筆記摘自
數學女孩2 費馬大定理
[日]結城浩
2017年9月3日
1.6 巡迴哪裏
數字的個數”與“級數”的最大公約數等於 1 時，可實現時鐘的完全巡迴。
2017年9月3日
1.6 巡迴哪裏
互質
2017年9月3日
1.7 超越人類的極限
數學連無限都可以處理。既可以將無限時光摺疊，放入信封，也可以將無限宇宙盡收掌心，令其高歌。這就是數學的樂趣所在。
2017年9月3日
2.1 泰朵拉
現在是午休時間，我跟泰朵拉一起在高中的樓頂喫着午飯。風兒微涼，但並不影響明媚的陽光給我們帶來的好心情。泰朵拉喫着盒飯，我啃着麪包。
2017年9月3日
2.2 米爾嘉
去樓頂喫午飯？” 她把臉湊近，緊盯着我的眼睛。柑橘系的香味由淡轉濃，銳利的眼光筆直地刺向我的心裏。不妙，她似乎心情不好。 “嗯……” “嗯……揹着我？”米爾嘉緩緩眯起了眼。
2017年9月3日
2.2 米爾嘉
“整數的結構，是由質因數表示的。” “有理數的結構，是由整數之比表示的。”
2017年9月3日
2.2 米爾嘉
你午飯是一個人喫的呢，還是……” “誒？”居然冷不丁給了我一句。 “或者，能不能把圓上的有理點和‘某個無數存在的東西’進行映射呢？”米爾嘉一下子把話題拉回了數學。 “我在樓頂和泰朵拉一起喫的午飯……” “很誠實嘛。賜予爾騎士稱號與寶劍。” 這麼說着，米爾嘉往我眼前遞了一條奇巧威化巧克力。 我鄭重地接下了巧克力。
2017年9月3日
2.3 尤里
上次我們一起搞的時鐘巡迴，真是太有意思了！”尤里先一步說話，“‘錶盤數字的個數’和‘級數’互質就能完全巡迴對吧，人家最喜歡聽哥哥講數學了！誰讓哥哥是人家的專屬老師嘛！” “學長確實很會教人呢，我也從學長那……” “我說，哥哥！”尤里打斷了泰朵拉的話，“那天晚上，我們一起喫的超辣咖喱飯，真是好辣哦！辣過頭了，害得人家喝水都喝撐了。喫完飯後哥哥講的費馬大定理也好有意思啊……稍微變換一下勾股定理的方程式就沒有自然數解了，還真是不可思議喵……” 尤里興沖沖地說個不停，泰朵拉只好閉口不言。病房裏的氛圍開始有些不妙，這時尤里的媽媽進來了，我鬆了一口氣。
2017年9月3日
2.5 家中
聽課是爲了刺激自己學數學，讀書也是爲了研究數學。但是如果不留出時間充分開動腦筋，動手實踐，聽課和讀書就完全沒有意義了。
2017年9月3日
2.5 家中
考慮 B 的質因數 bk，則任意一個質因數 bk 不包含在 A 中，就包含在 C 中！
2017年9月3日
2.6 給泰朵拉講解
出現整數的時候，辦法是先研究奇偶性，再分解質因數，變化成乘積的形式，然後除以最大公約數構成‘互質’……”
2017年9月3日
2.6 給泰朵拉講解
我們將其落實到乘積的形式。構成乘積的數字稱爲因數。例如剛剛有提到 AC 這個乘積的形式。此時的 A 和 C 都是因數對吧。你應該知道，質數是不能再進行質因數分解的。如果是兩個因數的乘積，那麼一個質因數是不能同時出現在這兩個因數之中的。所以我採用了“兩個數的平方差等於兩數之和乘以兩數之差”這個定理，將問題落實到兩個整數的乘積上。
2017年9月3日
2.6 給泰朵拉講解
嗯……‘弄錯了方向的話，往回走就好’。細細想來，透過村木老師出的這個問題，似乎可隱約看見‘整數真實的樣子’。深究這個問題的話，是不是會逐步接近數字的本質呢……”
2017年9月3日
2.8 單位圓上的有理點
我不是問你那個，你沒看見泰朵拉的卡片嗎？將 a, b, c 設爲自然數，考慮勾股定理 a2 + b2 = c2，兩邊同時除以 c2，會出現什麼？” “啊！ 是 x2 + y2 = 1 的解！從勾股定理可以引出單位圓！” “你要是說‘出現了單位圓上的有理點’就好了。不同的基本勾股數，就對應不同的有理點 。‘存在無數個基本勾股數’和‘單位圓上存在無數個有理點’是等價的。兩張卡片本質上是一個問題。”
2017年9月3日
2.8 單位圓上的有理點
星星的人’和‘畫星座的人’。這兩種人，哥哥你屬於哪種？
2017年9月3日
3.6 質數指數記數法
尤里能答出來，只是怕說錯而已。”米爾嘉一下子把臉湊到尤里面前，“因爲害怕，所以就想‘與其說錯，不如干脆說不知道好了’，對吧？” “……”尤里無言以對。 “膽小鬼。” “是 27 ！”尤里半帶哭腔地答道。 “錯了。”米爾嘉立刻說道，“最後不是加法。” “啊，對啊。是乘法。是 50。”尤里一臉平靜，像沒發生過任何事般答道。
2017年9月3日
3.6 質數指數記數法
換句話說，就是關於所有質數 p，ap 或 bp 中肯定有一方等於 0。這個也可以說成，兩個矢量不會投影在同一座標軸上。
2017年9月3日
3.6 質數指數記數法
總之，這就說明兩個矢量“垂直”。基於這個結論，也有數學家把 a 和 b “互質”直接寫成 a ⊥ b。因爲 ⊥ 形象地表示了垂直的情況。 a 和 b“互質” a ⊥ b “互質”是數論的表現形式，“垂直”則是幾何的表現形式。
2017年9月3日
3.6 質數指數記數法
對。這樣就對了。”
2017年9月3日
3.7 米爾嘉大人
說起泰朵拉……”我說，“你住院那會兒把她單獨叫過去了吧？那時候，你們到底說了什麼？” 尤里撥弄着頭髮，嘟囔了一句。 “我只是告訴她，表妹是四親等旁系血親，所以可以跟表哥結婚哦……”
2017年9月3日
4.1 家中
索引指的是書最前面的那個嗎？” “不不，書最前面的是目錄。目錄位於書籍開頭，按照頁數次序編排，記載着每章的章節標題。而索引位於書籍的最後，寫着某個詞語在書的哪一頁。找詞語解釋的時候就要用到索引，教科書和參考書這種需要查詞的書上肯定會有索引。”
2017年9月3日
4.1 家中
嗯，即使證明不出來也不會死，說‘賭上性命去證明’確實有點過頭了。不過啊……在某件事上‘花費時間’，不就相當於‘賭上性命’嗎？因爲活着的時候能做的事情是有限的，在這個世界上能用的時間是有限的，數學家們把‘有限’生命中的一部分用在了證明上。”
2017年9月3日
4.1 家中
只需要存在一個不是檸檬味兒的糖果就可以否定所有了。比如說哈密瓜味兒的。” “攻破一個就可以擊破‘所有’嗎？” “就是這樣。反證法從原命題的否定開始證明。如果想證明對於任意的糖果都存在某個性質，就要假設存在某個不符合這個性質的特殊糖果，從而推導出矛盾。這樣的話，就能把精力集中在這個特殊糖果上深入思考。這就是人們經常運用反證法的原因之一。” “原來如此。”
2017年9月3日
4.1 家中
比如說‘楓糖漿很好喫’是尤里你的觀點，可這個觀點並不是命題。楓糖漿好不好喫因人而異，這不是能從數學上判斷真假的東西。那麼，我們接下來要證明的命題是什麼來着？”
2017年9月3日
4.1 家中
命題的證明是永遠存在的。永遠指的是時間的無限性。已被證明過的命題，在證明它的數學家死後仍然是被證明過的。證明是嚴密的、不可推翻的。數學領域的證明是穿越時空的時間機器，是經過歲月的洗滌也不會腐朽的建築物。證明爲人類在有限的生命中去觸碰永遠提供了機緣
2017年9月3日
4.2.1 奇偶
解答4-1a （ 不是有理數的另一種證明方法） 使用反證法。 1. 假設 是有理數。 2. 存在整數 a, b 使得 (a ≠ 0)。 3. 將兩邊同時平方，去分母得到2a2 = b2。 4. 左邊含有奇數個質因數 2。 5. 右邊含有偶數個質因數 2。 6. 這就推導出了矛盾。 7. 因此， 不是有理數。 泰朵
2017年9月3日
4.2.1 奇偶
在數學領域，除了證明定理 P 以外， 其他更常用的方法是假設 P 爲 false，從而推導出矛盾 （即推導出 false 或相當於 false 的結論）。 常抄個近道：不直接表明 false， 而是去證明像 這樣明顯相當於 false 的結論。
2017年9月3日
4.2.1 奇偶
這麼說來，米爾嘉在要跟我分個高下的時候絕對不會移開視線，但是有時候也會唰地看向別處，比如說被我表揚的時候……難不成米爾嘉是在害羞？
2017年9月3日
5.1.1 速度題
不過我沒在開玩笑。大約從 18 世紀開始，人類才能自然地接受 -1 這樣的負數。事實上，帕斯卡在 17 世紀還認爲 0 減去 4 等於 0。以幾千年的數學發展史來看，負數得到運用也是在不久之前的事。18 世紀最偉大的數學家，我們的老師萊昂哈德·歐拉，他第一次明確闡述了數軸向正和負兩個方向延伸的概念。
2017年9月3日
5.1.1 速度題
我們用一次方程的解定義了 m 這個數（實際上 m 就等於 -1）。
2017年9月3日
5.2 複數的和與積
複數的積” “絕對值的積”和“幅角的和” αβ 的絕對值等於 α 的絕對值乘以 β 的絕對值，這很正常。但是 αβ 幅角居然等於 α 幅角加 β 幅角？這就很有意思了。可以說幅角具有指數運算的性質。 那麼，能從幾何層面理解複數的積，同理也能從幾何層面理解複數平方後的式子。我們用複平面的知識，再研究一下午飯時那道速度題 —— “平方等於 -1 的數字”。
2017年9月3日
5.2 複數的和與積
話說回來，-1 到底是什麼呢？複平面上，-1 是“絕對值爲 1，幅角爲 180°”的一個點。因爲可以靠“絕對值的積與幅角的和”來計算複數的積，所以平方後等於 -1 的複數 x 的性質就是“絕對值平方後爲 1，幅角擴大 2 倍爲 180°”。 平方等於 1 的正數是 。擴大 2 倍爲 180° 的幅角就是 90°。也就是說，絕對值爲 1，幅角是 90° 的複數平方後爲 -1。這確實與複數 i 一致。
2017年9月3日
5.2 複數的和與積
乘兩次 -1 也就相當於將 -1 的幅角 180° 擴大兩倍，就變成了旋轉 360°，等於根本沒旋轉。根本沒旋轉指的是幅角爲 0°，對應 1 這個數字對吧。”
2017年9月3日
5.2 複數的和與積
“複平面是代數和幾何邂逅的舞臺。” 米爾嘉說着，將食指輕輕貼在自己的雙脣上。 “在複平面這個舞臺上，代數和幾何接吻了。”
2017年9月3日
5.4 可以粉碎的質數
句話讓我意識到，我無意之間貼她太近了。 米爾嘉伸出雙手，抓住我兩隻耳朵。 她就這麼把我拉了過去……
2017年9月3日
5.4 可以粉碎的質數
不對。我們的整數 裏包含兩種質數。一種拿到高斯整數 裏能分解成積的形式，可以說是‘可以粉碎的質數’。打比方說，把 2 拿到 的世界裏進行分解，就得到 (1 + i)(1 - i)。而另一種質數即使拿到高斯整數 裏，也不能分解成積的形式，這就是‘無法粉碎的質數’。比如 3，即使把它拿到 裏也無法將其粉碎。3 即使在 裏也還是質數。但是要注意一下，可以粉碎和無法粉碎不是正式的數學用語。±1 既不是合數也不是質數，它叫作單數。”
2017年9月3日
5.4 可以粉碎的質數
這些命題”反映了一個事實。 數字世界從 擴展到 時，質數分解的形態， 是由質數除以 4 的餘數決定的。
2017年9月3日
5.4 可以粉碎的質數
質數 p 和整數 a, b 具有以下關係。證明 p 除以 4 餘數不爲 3。 p = (a + b i)(a - b i)
2017年9月3日
5.4 可以粉碎的質數
平方數 a2 除以 4 的餘數不是 0 就是 1。 2. 平方數 b2 除以 4 的餘數也不是 0 就是 1。 3. 兩個平方數的和 a2 + b2 除以 4 的餘數是 0, 1, 2 中的一個。 4. 因此，a2 + b2 = (a + b i)(a - b i) = p 除以 4 的餘數不會是 3。
2017年9月3日
6.1 奔跑的早晨
我站起身，她從牀上伸出手對我說： “看不清，你的臉。” 我把臉湊近。 米爾嘉的手輕輕地滑過我的臉。 （好溫暖）
2017年9月3日
6.2 第一天
我以爲做完檢查馬上就能出院了，沒想到居然讓我住三天。太無聊了，你帶泰朵拉一起來看我，我們一起研究數學。” 這是米爾嘉的請求 —— 或者說是命令。 於是，我跟泰朵拉第二天就去探望了無聊的女王陛下。米爾嘉很歡迎我們來聽她的羣論入門課。
2017年9月3日
6.2 第一天
爲什麼集合會是 G 啊？‘集合’的英文明明是 set 吧。” “從集合出發，然後定義羣。‘羣’的英文是 group。”
2017年9月4日
6.2 第一天
接下來，我們來講講單位元。”米爾嘉接着講道，“打比方說，我們做加法運算的時候，不管在哪個數上加上 0，這個數字都‘不會變’。乘法運算的時候，不管在哪個數上乘上 1，這個數也‘不會變’。也就是說，‘加法運算中的 0’和‘乘法運算中的 1’很像。把這個‘不會變’的因素用數學語言表現出來就是單位元。一般把單位元記作 e。對於任意元素 a，元素 a 與元素 e 的運算結果都始終爲 a，也就是不變。我們把這樣的元素 e 稱爲單位元。” 單位
2017年9月4日
6.2 第一天
對於集合 G 中的任意元素 a，我們把集合 G 中滿足以下等式的元素 e，稱爲在演算 中的單位元。
2017年9月4日
6.2 第一天
是 —— 公理創造定義
2017年9月4日
6.2 第一天
在羣裏，單位元的逆元就是單位元自身。”
2017年9月4日
6.2 第一天
對，同構羣。”米爾嘉漸漸加快了語速，“將同構羣同等看待，則本質上只有一個元素個數爲 2 的羣。不管追溯多少年之前的歷史，還是展望多少億年之後的未來，無論造訪世界上哪一個國家，還是將旅途的腳印延伸到宇宙的盡頭，都不會動搖這個事實。元素個數爲 2 的羣本質上只有一個。”
2017年9月4日
6.2 第一天
就是根據公理給出制約，制約創造結構
2017年9月4日
6.3.1 交換律
因爲是幅角 360° = 2π 的 n 等分，所以 xn = 1 的解爲 k = 0, 1, …, n - 1，可用以下形式表述。
2017年9月4日
6.3.1 交換律
從方程式的角度來看，我們熟悉的正 n 邊形的頂點 是“1 的 n 次根的解”，從羣的角度來看則變成了“元素個數爲 n 個的阿貝爾羣的例子”。單位圓上的舞蹈真是有趣啊。 6
2017年9月4日
6.4 真實的樣子
把 0 和 1 都統一看成單位元，這個想法很大膽吧。把 + 和 × 都看成運算也很了不起。從平日的陳腐概念中削去非本質的部分，本質的部分就會浮現在眼前了吧。”
2017年9月4日
6.4 真實的樣子
覺得有點明白了。抽象化並證明之後，就能適用於更大的範圍了吧。” “如果不進行抽象化，我們是不能確定本質是否相同的。抽象 —— 抽出指的是將本質以外的部分抽象，也就是丟掉。選擇真正重要的，丟掉其他的。”
2017年9月4日
6.4 真實的樣子
選擇真正重要的，丟掉其他的……” 6
2017年9月4日
6.4 真實的樣子
如果讓我回望人生， 選出最具有創造性的時刻， 那就是在最嚴格的制約條件下 還不得不工作的時候。
2017年9月4日
7.2.1 餘項
-1 = 12 × (-1) + 11 (0 ≤ 11 < |12|)
2017年9月4日
7.2.1 餘項
將整數 a 除以整數 b(b ≠ 0) 得到的商設爲 q，餘項設爲 r，用以下等式定義商和餘項。因爲 b 也有可能爲負數，所以我們在附加條件的不等式中用絕對值 |b| 代替 b。
2017年9月4日
7.3.1 喝着可可
已經這麼晚了嗎……我看着馬克杯，恍惚地想着。說過了喝咖啡就行，她卻總拿來可可，能不能別總是把我當小孩子看啊。 我爸和我媽結婚後有了我，一家人。米爾嘉也有家人，泰朵拉也有家人。 我們才十來歲，但我們也揹負着許多東西，某些我們要揹負的東西。 米爾嘉也是。
2017年9月4日
7.3.1 喝着可可
寫數學公式，就會留下數學公式。半途而廢，就只會留下寫到一半的數學公式。這是理所當然的。 然而，教科書上沒有寫到一半的數學公式。在建築工地上已經搭好了腳手架。所以一說到數學，我們腦海中總會浮現出整然有序的、已經完成的畫面。但實際上，那些創造出最尖端數學的地方，不都是跟施工現場一樣亂七八糟的嗎？ 畢竟發現數學、創造數學的是人類，懷着殘缺、震顫、忐忑之心的人類。是憧憬美麗的結構，傾慕永恆，想方設法捕捉無限的人類，培育出了今日的數學。 不是純粹地獲取，而是由自己創造出來的；從蒐集不起眼的水晶碎片開始，直至建成宏偉的佛寺；在一無所有的空間裏放入公理，由公理推導定理，由定理再導出其他定理；由一顆小小的種子開始，構建整個宇宙。 —— 這就是數學。 米爾嘉優雅的解答，泰朵拉付出的努力，尤里對於條件的關注……我能[…]
2017年9月4日
7.3.1 喝着可可
所以，所以……請你不要回頭
2017年9月4日
7.4 羣·環·域
集合 關於 不構成羣’ 你注意到了嗎？” “什麼？！”我吃了一驚。 這樣啊，我求的是有逆元這個條件。也就是說，集合 裏包含“有逆元的元素和沒有逆元的元素”。也就是說，這個集合不是羣。如果是羣，所有的元素都應該有逆元。這麼說來，這是再當然不過的。我居然到現在才發現……
2017年9月4日
7.4 羣·環·域
ring。”米爾嘉突然加快了語速，“整數環 和剩餘類環 都滿足‘環的公理’。但是，這兩種環大不相同。 就像是數軸上排列的點， 的點則分佈在圓環上，就像是時鐘的錶盤； 是無限集合， 是有限集合； 具有無限性， 具有周期性。兩者雖然大相徑庭，卻都滿足環的公理。也就是說，只要存在從環的公理中推導出的定理，這個定理一定適用於 ，也同樣適用於 。因爲它們都是‘環’。這就是抽象代數！” 這樣啊……我在思考某個集合，定義運算的時候，只要這個集合滿足環的公理，就能把已經經過數學家們證明的環的定理拿來用啊…… 我一瞬間看到了許多命題，它們如森林般，如星座般不斷擴張，創造了一個巨大的體系。我不知道關於環的定理，但這些基於環的公理的諸多關於環的定理，一定是數學家們長年累月築造而[…]
2017年9月4日
7.4 羣·環·域
假設 p 爲質數，將剩餘類環 看作是域，這時可將其稱爲有限域 。 如果把像時鐘一樣旋轉的剩餘類環看作整數的微縮模型，那麼用質數 p 構造出的有限域 也可以說是有理數的微縮模型吧。從時鐘到 mod，然後是羣·環·域 —— 世界旋轉得真壯觀啊。”
2017年9月4日
7.4 羣·環·域
環關於加法是阿貝爾羣。 環關於乘法不一定是阿貝爾羣。
2017年9月4日
7.4 羣·環·域
因爲環的公理裏沒有寫明，所以環裏不一定存在關於乘法的逆元，也就是說環裏不一定能進行除法運算。接下來，我們思考一下除法。假設存在某個環，這個環裏除 0 以外的所有元素都能進行除法運算，我們把這個環稱爲域。
2017年9月4日
7.4 羣·環·域
是這樣。m 是質數的時候，關於乘法，剩餘類環 除了 0 以外的所有元素都有與其對應的逆元，也就是域。也可以反過來說，剩餘類環 爲域的時候，m 是質數。雖然也有 m = 1 這種特殊情況。”
2017年9月4日
7.5 以髮型爲模
既可以將無限時光摺疊，放入信封。 也可以將無限宇宙盡收掌心，令其高歌。
2017年9月4日
7.5 以髮型爲模
我有時候在想， 學習和研究到底有何不同呢？ 數學課上，只要讀讀教科書上寫着的內容，然後記住公式， 再用記住的公式解開問題，對一下答案就結束了。 然而我認爲，研究是去探求“未知的答案”， 是向答案逼近的一個過程。 因爲不知道答案纔會有趣。 從自己找尋、發現答案的過程中， 才能感受到研究的魅力所在。 —— 山本裕子 [4
2017年9月4日
7.5 以髮型爲模
嗯，哥哥你講得很容易理解啊。總之就是用餘數能進行加法和減法運算對吧，還包括乘法運算。只要滿足互質這個條件，還能做除法運算。同等看待那一塊兒也很有意思。無視差異同等看待……然後直到有限域 那裏。我說哥哥！之前你說過的那個‘摺疊無限’，指的不就是同餘嗎……”
2017年9月4日
8.1 費馬大定理
費馬大定理 當 n ≥ 3 時，以下方程式不存在自然數解。 “爲什麼費馬大定理這麼有名啊？” “這個嘛……我認爲主要原因有三個。”我說。 問題本身誰都能理解。 費馬曾寫道：“我確信已發現了一種美妙的證法”。 即便如此，其後 350 多年卻沒有人能證明它。
2017年9月4日
8.1 費馬大定理
我確信已發現了一種美妙的證法， 可惜這裏空白的地方太小，寫不下。
2017年9月4日
8.1 費馬大定理
費馬大定理指的是，在 中，對於任意 n，都不存在滿足方程 的一組自然數 (x, y, z)。就是這麼個定理。” “嗯，然後呢？”
2017年9月4日
8.1 費馬大定理
雖然費馬大定理涉及了所有大於等於 3 的 n，但 FLT(3) 指的是單獨涉及 n = 3 這個情況的命題。也就是說，FLT(3) 所指的命題是‘不存在滿足方程 x3 + y3 = z3 的一組自然數 (x, y, z)’。”
2017年9月4日
8.1 費馬大定理
不能被證明，就無法稱之爲定理
2017年9月4日
8.1 費馬大定理
數學領域的主張，也就是我們所說的命題，未經證明的話只不過是猜想而已。在‘費馬大定理’得到證明以前，應該稱它爲‘費馬的猜想’纔對。”
2017年9月5日
8.2 泰朵拉的三角形
色已經暗了，在鑽研數學的過程中，我忘記了時間的流逝，生活在如夢境般的另一個世界之中。會意識到這點，是因爲我已經回到了往常的世界。這邊的世界 —— 有我，有泰朵拉，有米爾嘉……
2017年9月5日
8.3.1 旅行的出發點：用 m, n 表示 A, B, C, D
但是 p 也不可能大於等於 3。因爲如果 p 大於等於 3，m 和 n 就都是 p 的倍數。但是 m ⊥ n —— 也就是說 m 和 n 沒有共同的質因數。所以 p 不可能大於等於 3。 綜上所述，可以說 (m + n) ⊥ (m - n)。
2017年9月5日
8.3.1 旅行的出發點：用 m, n 表示 A, B, C, D
我呆呆地站在森林深處的分岔口處。 確實可以兩條路都走。 不過，這樣的話就得花兩倍時間和精力了。 嗯……有沒有什麼好辦法呢？我再一次回首向走過的路望去，看看有沒有忘掉哪個關係式。 嗯？
2017年9月5日
8.4 尤里的靈感
旅行地圖
2017年9月5日
8.5.1 備戰
人家一下子就折服了……不過，學長你用的武器又是我有的呢……” 基本勾股數的一般形式 互質 兩數之和乘以兩數之差等於平方差 積的形式 奇偶性 最大公約數 分解質因數 反證法 矛盾 “就算這樣，人家
2017年9月5日
8.5.1 備戰
初步證明……什麼啊？” “費馬大定理。
2017年9月5日
8.5.1 備戰
也不知道。變量間的關係是漸漸明晰的，不可能從一開始就看破。所以我只能嘗試着去算。首先要前進，然後看着前方出現的式子，再考慮下一步。難就難在最後的最後，怎樣才能構成同樣形式的數學公式那裏。這樣才能推導出矛盾。最後還是我表妹尤里給我提了
2017年9月5日
8.5.1 備戰
我覺得……在課堂上學的數學，跟學長學姐們一起做的數學很不一樣。課堂上學的數學很無聊乏味，跟學長學姐們一起研究的數學感覺卻很生動有趣……不過可能是我搞錯了。課堂上的數學就像武器的基本用法，像是劍道里的揮劍練習和手槍的試射一樣，所以會覺得枯燥又無聊。不過要是不紮實地打好這部分基礎，一旦開戰，就會掉鏈子了。”
2017年9月5日
第 9 章 最美的數學公式
貝內拉抓起一把潔淨美麗的沙子， 在手掌裏攤開，用手指沙沙地翻動。 “這些沙子都是水晶，每粒水晶裏面都有一小股火焰在燃燒。
2017年9月5日
9.1 最美的數學公式
無矛盾性是存在的基石
2017年9月5日
10.4 橢圓曲線的世界
好像棱鏡啊！”泰朵拉說道，“陽光透過棱鏡會被分解成無數種顏色的光，把所有的光重合在一起又會還原成本來的陽光。感覺跟這個很像不是嗎？有理數域 是陽光，有限域 表示每個質數 p 的顏色……”
2017年9月5日
10.4 橢圓曲線的世界
在 上，1 是自身加法中的逆元，所以‘加 1’就等於‘減 1’。也就是說，x + 1 可以換成 x - 1。”
2017年9月5日
10.5 自守形式的世界
話雖這麼說，也有 (cz + d)2 這種程度的偏差。(cz + d)2 的指數 2 稱爲權。Φ(z) 是‘權爲 2 的自守形式’。到這裏聽明白了嗎？” “完全……沒辦法想象。”泰朵拉抱着頭。
2017年9月5日
10.5 自守形式的世界
保護形式。由 這個式子，可知‘經由 Φ 來看，z 和 形式相同’。即使發生了 這種變換，也保持了原有的形式，所以叫作自守形式
2017年9月5日
10.7 慶功宴
見盈盈的雙手在鍵盤上游移，速度越來越快。毫無秩序的音符間填上了其他的音符。一堆雜亂無章的音符中誕生了小小的圖案，然後無數的圖案開始交織，形成了更大的圖案。 然後，就從離散走向了連續！ 回過神來，我已經被拋向了廣袤的大海。海浪，海浪，海浪，不停襲來的海浪。盈盈彈出的琴音翻湧着，捲起波浪，將我沖走。我在這激流的衝擊下，完全失去了方向感，就在這一瞬間 —— 我站在了寂靜的海岸邊，仰望着夜空。夜空中無數的星辰就像與一個個微小的漩渦相互輝映般，閃耀着星光。對，似乎有規律，又好似沒有……
2017年9月5日
10.7 慶功宴
爲什麼懷爾斯會……”泰朵拉突然開口，“會覺得憑一人之力就能證明呢？一個人把自己關在書房裏長達七年，肯定非常孤獨吧。大家一起幫忙的話豈不是很快就能證明出來了嗎？” “他想一個人實現自己的夢想吧。”米爾嘉回答道，“但是就連懷爾斯也不是全部自己完成的。數學是一門積累的學問。不管怎樣的天才，都不是由零開始創造所有的數學知識的。他們也要站在其他人無數的證明結果的基礎之上。” “孤獨嗎……”我喃喃道，“尤里經常說‘喜歡一起思考’。但是，即使通過相互討論創造了‘一起思考’的環境，靈感也是從每個人腦海裏產生的吧。” 咦？尤里去哪兒了……環視四周，發現她在房間角落裏正寫着什麼。 “跟生孩子一樣呢。”我媽端來了茶，“有深愛的丈夫在，也有醫生在，但是要‘生產’的只有[…]
2017年9月5日
10.7 慶功宴
學長，你經常說相遇是個偶然對吧。不過……我能遇見學長不是偶然，是奇蹟哦！” 泰朵拉滿臉通紅地留下這句話，就飛也似地跑回客廳了。
2017年9月5日
10.7 慶功宴
數星星的人和畫星座的人。這兩種人，哥哥你屬於哪種？”
2017年9月5日
10.8 仙女座也研究數學
真實的樣子” —— 漂浮在銀河中的點點繁星一點也不“細小”。我們肉眼能看見的星星實際上是非常巨大的。星星也不是“一羣羣”的。事實上，它們距離我們好多個光年。 不管看上去細小，還是一羣羣的，都是投影施放的魔法。我們看到的是投射在自己視網膜上的來自遙遠過去的星星的影子。如果換成另一顆遠離地球的星球，星球上的居民擡頭看夜空的時候應該會看到截然不同的星座吧。 不過，數學會如何呢？如果那顆遙遠的星球上的居民有“數數”這個概念的話，也應該有質數這個概念吧。他們會感到整除有着特殊的含義吧，也應該會有互質這個概念吧，也會想利用同餘摺疊無限吧。 費馬
2017年9月5日
10.8 仙女座也研究數學
空間上的距離不是本質，時間上的距離也不是本質。 不管相隔多遠，不管距離多久。 貫穿宇宙和歷史的共同詞彙 —— 數學。
2017年9月5日
10.8 仙女座也研究數學
我們遇見了數學，我們通過數學相遇了。 有做得到的事，也有做不到的事。有明白的事，也有不明白的事。不過，這樣就好。享受數學，跟超越時空的夥伴一起，數星星，描繪星座！ “啊！”泰朵拉指着上方。 “喔？”米爾嘉微微笑着仰望夜空。 “好巧！”盈盈吹起口哨。 “哥哥！”尤里叫道。 我擡頭看向空中。 啊，天空也…… 天空也在享受數學。 夜空中緩緩飄下數不清的正六角形結晶。
2017年9月5日
10.8 仙女座也研究數學
我們只活在當下。”米爾嘉繼續道，她的臉頰凍得發紅，“然而，散佈在歷史這條時間軸上的無數數學知識，都投射到了‘現在’這一點上。我們學的就是這一點上的投影。
2017年9月5日
10.8 仙女座也研究數學
以居住的星球爲模，是不是存在跟我們同餘的宇宙人呢？
2017年9月5日
10.8 仙女座也研究數學
哥哥！下雪了！”
2017年9月5日
參考文獻和導讀
我把書庫的鑰匙給你， 不夠的話就去圖書館吧。 你想知道的答案一半都在書裏。 只有一半？那剩下的一半呢？ 還無人知曉。 —— 坂田靖子《巴基爾的優雅生活》
所有摘錄來自
[日]結城浩. “數學女孩2 費馬大定理.” 人民郵電出版社, 2015-12-31. 此材料受版權保護。