[六省聯考2017]相逢是問候

看到區間修改區間查詢，大家一定會覺得這是一個線段樹題
然後再看修改操作$a_i=c^{a_i}$
這玩意真的能用線段樹維護嗎？？？
答案是：顯然不能
那怎麼辦呢？
看到這麼多落在一起的冪，好多還都一樣($c$)，我們可以聯想到這道題所以我們可以用擴展歐拉定理推一下，順便給自己的博客打廣告嚶嚶嚶~
根據擴展歐拉定理：$a^c\equiv a^{c\bmod \phi(p)+\phi(p)}\bmod p$
那麼經過一段時間，當$\phi(\phi(\phi(\phi(...\phi(\phi(p))))))=1$之後，我們的式子就變成了$c^{c^{c...^c}}$，就和$a_i$無關了！！！
於是我們又想到了這道題，採取一樣的做法，對於修改，暴力修改如果修改到$\phi(\phi(\phi(\phi(...\phi(\phi(p))))))=1$之後就不管他了
可以證明，最多經過$2\log p$次之後，$\phi(\phi(\phi(\phi(...\phi(\phi(p))))))=1$，也就是說每個點最多會被修改$2\log p$次，而每次修改最多需要$\log$次遞歸，每次遞歸的時候需要$\log$的時間來算快速冪，也就是說這道題我們就做出了一種$O(m\log^3 p)$的做法
然後我們手推一下就會發現$5\times 10^4\times \log^3 (10^8)\approx4\times10^9$顯然是跑不過去的，但是能夠拿到$80$分，但是因爲這題標程出鍋了，所以數據特別水，所以實際能夠拿到$90$。
但是注意這裏有一個細節，因爲擴展歐拉定理只有在指數$c\geq \phi(p)$的時候才成立，所以我們要判斷一下要不要加上$\phi(p)$，這裏可以用一個flag變量來求
先貼一個$90$分代碼吧

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

# define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
# define _Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
# define RepG(i,u) for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)

typedef long long ll;

const int N=1e5+5;

template<typename T> void read(T &x){
   x=0;int f=1;
   char c=getchar();
   for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
   for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
    x*=f;
}

# define int long long

int n,m,p,c;
int a[N];
int phi[N],dep;
bool flag;

struct segment_tree{
    int l,r;
    int sum,tim;
}seg[N<<2];

# define lc (u<<1)
# define rc (u<<1|1)

int getphi(int x){
    int res=x;
    for(int i=2;1ll*i*i<=x;i++){
        if(x%i==0)
            res=res/i*(i-1);
        while(x%i==0)x/=i;
    }
    if(x>1)res=res/x*(x-1);
    return res;
}   

void init(){
    int x=p;
    phi[0]=x;
    while(x>1){
        x=getphi(x);
        phi[++dep]=x;
    }
    phi[++dep]=1;
}

int Qpow(int base,int ind,int p){
    int res=1;
    while(ind){
        if(ind&1)res=1ll*res*base;
        base=1ll*base*base%p;
        ind>>=1;
        if(res>=p)flag=true,res%=p;
        if(base>=p)flag=true,base%=p;
    }
    return res;
}

int calc(int id,int lim,int d){
    flag=false;
    if(d==lim){
        if(a[id]>=phi[d]){
            flag=true;
            return a[id]%phi[d];
        }
        return a[id];
    }
    int x=calc(id,lim,d+1);
    if(flag)x+=phi[d+1],flag=false;
    return Qpow(c,x,phi[d]);
}

void pushup(int u){
    seg[u].sum=(seg[lc].sum+seg[rc].sum)%p;
    seg[u].tim=min(seg[lc].tim,seg[rc].tim);
}

void build(int u,int l,int r){
    seg[u].l=l,seg[u].r=r;
    if(l==r){
        seg[u].sum=a[l];
        seg[u].tim=0;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(lc,l,mid);
    build(rc,mid+1,r);
    pushup(u);
}

void update(int u,int l,int r){
    if(seg[u].tim>=dep)return;
    if(seg[u].l==seg[u].r){
        seg[u].tim++;
        seg[u].sum=calc(seg[u].l,seg[u].tim,0);
        return;
    }
    int mid=seg[u].l+seg[u].r>>1;
    if(l<=mid)update(lc,l,r);
    if(r>mid)update(rc,l,r);
    pushup(u);
}

int query(int u,int l,int r){
    if(seg[u].l>=l&&seg[u].r<=r)return seg[u].sum;
    int mid=seg[u].l+seg[u].r>>1;
    int res=0;
    if(l<=mid)res+=query(lc,l,r);
    if(r>mid)res+=query(rc,l,r);
    res%=p;
    return res;
}

signed main()
{
    read(n),read(m),read(p),read(c);
    Rep(i,1,n)read(a[i]);
    init();
    build(1,1,n);
    Rep(i,1,m){
        int opt,x,y;
        read(opt),read(x),read(y);
        if(!opt)update(1,x,y);
        else printf("%lld\n",query(1,x,y));
    }
    return 0;
}

那麼我們考慮怎麼優化
我們發現我們每次暴力求答案的時候，底數是一樣的，而模數也不多
所以我們可以對於每個模數進行一下光速冪（繼續打廣告）然後我們可以優化掉一個$\log$變成$O(m\log^2p)$就解決了
同時我們也要在預處理的時候處理一下有沒有溢出的情況（在做的過程中出現了$\geq\phi(p)$），如果有就加上$\phi(p)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

# define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
# define _Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
# define RepG(i,u) for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)

typedef long long ll;

const int N=1e5+5;
const int bl=10000;
const int M=65;

template<typename T> void read(T &x){
   x=0;int f=1;
   char c=getchar();
   for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
   for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
    x*=f;
}

# define int long long

int n,m,p,c;
int a[N];
int phi[N],dep;
int qpow[bl+5][M][2];
bool flag,over[bl+5][M][2];

struct segment_tree{
    int l,r;
    int sum,tim;
}seg[N<<2];

# define lc (u<<1)
# define rc (u<<1|1)

int getphi(int x){
    int res=x;
    for(int i=2;1ll*i*i<=x;i++){
        if(x%i==0)
            res=res/i*(i-1);
        while(x%i==0)x/=i;
    }
    if(x>1)res=res/x*(x-1);
    return res;
}   

void init(){
    int x=p;
    phi[0]=x;
    while(x>1){
        x=getphi(x);
        phi[++dep]=x;
    }
    phi[++dep]=1;
    Rep(i,0,dep){
        qpow[0][i][0]=1;
        Rep(j,1,bl){
            qpow[j][i][0]=qpow[j-1][i][0]*c;
            if(qpow[j][i][0]>=phi[i])over[j][i][0]=true,qpow[j][i][0]%=phi[i];
            over[j][i][0]|=over[j-1][i][0];
        }
    }
    Rep(i,0,dep){
        qpow[0][i][1]=1;
        Rep(j,1,bl){
            qpow[j][i][1]=qpow[j-1][i][1]*qpow[bl][i][0];
            if(qpow[j][i][1]>=phi[i])over[j][i][1]=true,qpow[j][i][1]%=phi[i];
            over[j][i][1]|=over[j-1][i][1];
        }
    }
}

int Qpow(int ind,int p){
    flag|=over[ind%bl][p][0]|over[ind/bl][p][1];
    int res=qpow[ind%bl][p][0]*qpow[ind/bl][p][1];
    if(res>=phi[p])flag=true,res%=phi[p];
    return res;
}

int calc(int id,int lim,int d){
    flag=false;
    if(d==lim){
        if(a[id]>=phi[d]){
            flag=true;
            return a[id]%phi[d];
        }
        return a[id];
    }
    int x=calc(id,lim,d+1);
    if(flag)x+=phi[d+1],flag=false;
    return Qpow(x,d);
}

void pushup(int u){
    seg[u].sum=(seg[lc].sum+seg[rc].sum)%p;
    seg[u].tim=min(seg[lc].tim,seg[rc].tim);
}

void build(int u,int l,int r){
    seg[u].l=l,seg[u].r=r;
    if(l==r){
        seg[u].sum=a[l];
        seg[u].tim=0;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(lc,l,mid);
    build(rc,mid+1,r);
    pushup(u);
}

void update(int u,int l,int r){
    if(seg[u].tim>=dep)return;
    if(seg[u].l==seg[u].r){
        seg[u].tim++;
        seg[u].sum=calc(seg[u].l,seg[u].tim,0);
        return;
    }
    int mid=seg[u].l+seg[u].r>>1;
    if(l<=mid)update(lc,l,r);
    if(r>mid)update(rc,l,r);
    pushup(u);
}

int query(int u,int l,int r){
    if(seg[u].l>=l&&seg[u].r<=r)return seg[u].sum;
    int mid=seg[u].l+seg[u].r>>1;
    int res=0;
    if(l<=mid)res+=query(lc,l,r);
    if(r>mid)res+=query(rc,l,r);
    res%=p;
    return res;
}

signed main()
{
    read(n),read(m),read(p),read(c);
    Rep(i,1,n)read(a[i]);
    init();
    build(1,1,n);
    Rep(i,1,m){
        int opt,x,y;
        read(opt),read(x),read(y);
        if(!opt)update(1,x,y);
        else printf("%lld\n",query(1,x,y));
    }
    return 0;
}