算法分析與設計——近似算法

一、近似算法的概念

1、爲啥要研究近似算法？

$\quad$目前大規模的NPC問題我們無法通過計算得到，因此我們需要通過損失一部分精度的做法來找到多項式的近似算法。

2、近似算法精度的評價

$\quad$用近似算法得到的解與原問題的最優解比值不超過$ρ$，則稱該算法是$ρ-近似算法$。難點在於在不知道最優解的情況下證明近似解與最優解的近似程度。

二、幾個經典的近似問題

1、負載均衡問題

$\quad$負載均衡問題：給出$m$個機器，$n$個任務，設任務$j$處理時長爲$t_j$。要求如下：

• 每個任務只能在一個機器上不間斷的完成
• 每個機器不能同時處理多個任務

$\quad$設$S[i]$表示給機器$i$處理的任務集合，則機器$i$的處理時長爲$L[i]=\sum_{j\in S[i]}t_j$。負載均衡問題的目標就是 找到一種任務分配方案使得$min(max(L[i]))$，即讓每個機器處理的任務的時長儘可能均衡。
$\quad$這個問題是NPC問題，因爲$Partiton問題 \le_P 負載均衡問題$。

近似策略1

$\quad$貪心策略：每次在機器中選出當前處理時長最短的機器處理下一個任務。時間複雜度爲$O(nlogm)$，對於每個任務都需要從$m$個機器中選出處理時長最短的機器，這個用優先隊列維護即可。這個近似算法是2-近似的，證明如下：

• 引理1：設最優解爲$L^*$，則$L^*\geq max_jt_j$，因爲至少一個機器要處理一個任務，所有任務中花費時間最長的任務所需時間爲$max_jt_j$，故得到此不等式。
• 引理2：$L^* \geq \frac{1}{m}\sum_jt_j$。當每個機器處理任務的時長相同時$L^* = \frac{1}{m}\sum_jt_j$，顯然其他情況下$L^* > \frac{1}{m}\sum_jt_j$。
• 假設最後一個任務$j$給了機器$i$，說明在此之前，機器$i$的負載時長最小，即$L[i]-t_j\le L[k](對任意k滿足1 \le k \le m)$。
• 因爲對任意一個機器$k$都滿足$L[i]-t_j\le L[k]$，因此$m(L[i]-t_j)\le \sum_kL[k]$，即$L[i]-t_j\le \frac{1}{m}\sum_kL[k]=\frac{1}{m}\sum_j t_j \le L^*(引理2)$
• 到這裏，該近似算法求解的結果$L=L[i]=(L[i]-t_j)+t_j \le L^*+L^*=2L^*$，即$L\le 2L^*$，該貪心策略是該問題的2-近似算法。

$\quad$該近似算法能達到最優解的2倍嗎，即上述不等式是緊的嗎？是緊的！

近似策略2

$\quad$策略2：將任務按照處理時長$t_j$從大到小排序，之後再每次在機器中選出當前處理時長最短的機器處理下一個任務。時間複雜度爲$O(nlogn+nlogm)$。這個近似算法是$\frac{3}{2}-近似$的，證明如下：

• 引理3：假設有$m$個機器，超過$m$個任務，這些任務按照處理時長排好序，$t_1\ge t_2 \ge \cdots \ge t_{m+1} \ge \cdots$，則顯然某個機器上至少要處理兩個任務，則最優解$L^*\ge 2t_{m+1}$。
• 從近似策略1的推導可以得到$L=L[i]=(L[i]-t_j)+t_j$，假設機器$i$上至少有2個任務，則利用引理3可得$t_j\le \frac{1}{2}L^*$，故$L\le \frac{3}{2}L^*$，該策略是該問題的$\frac{3}{2}-近似$算法。

$\quad$該近似算法能達到最優解的$\frac{3}{2}$倍嗎，即上述不等式是緊的嗎？不是緊的！

2、中心點選擇問題

$\quad$問題描述：給出$n$個點$s_1,\cdots,s_n$，從中選出$k$個點$C$，設每個點到最近的中心點$C$的距離爲$d_i$，問採取何種策略選出這$k$個點使得$r(C)=max(d_i)$最小。這個問題是NPH問題。
$\quad$貪心策略：初始時隨機選一個點作爲中心點，之後的$k-1$次，每次遍歷除已選做中心點的其他點，找出與該點距離最近的某個中心點計算出距離$d_j$。最後在這些點中找出$max_j d_j$對應的點作爲下一個中心點。這個近似算法是2-近似的，證明如下：

• 設$C^*$是最優解對應的中心點，$C$是用上述貪心算法選出的中心點，則$r(C)\le 2r(C^*)$。

3、帶權頂點覆蓋問題

$\quad$圖的每個頂點都有權重，找一個圖的頂點集合能覆蓋所有的邊，問如何選擇頂點使得這些頂點的權重和最小。用競價法去近似求解。

• 對於某個頂點$i$，其權重爲$w_i$，與該頂點相連的邊記爲$p$，給這些邊賦值權重，使得$\sum_{e=(i,j)}p_e \le w_i$。
• 設$S$爲任意一個集合覆蓋，則$\sum_ep_e\le \sum_{i\in S}\sum_{e=(i,j)}p_e\le \sum_{i\in S}w_i=w(S)$，故$\sum_ep_e\le w(S)$。
• 算法流程：對於圖中任意一條邊$e=(i,j)$，令$p_e=0$，當$i,j$頂點的$\sum_{e=(i,j)}p_e<w_i,\sum_{e=(i,j)}p_e<w_j$時，增加$p_e$直到滿足$\sum_{e=(i,j)}p_e=w_i或者\sum_{e=(i,j)}p_e=w_j$。這時候相等的那個頂點放入$S$中。
  
• 競價法是2-近似算法，證明如下：