算法分析与设计——近似算法

一、近似算法的概念

1、为啥要研究近似算法？

$\quad$目前大规模的NPC问题我们无法通过计算得到，因此我们需要通过损失一部分精度的做法来找到多项式的近似算法。

2、近似算法精度的评价

$\quad$用近似算法得到的解与原问题的最优解比值不超过$ρ$，则称该算法是$ρ-近似算法$。难点在于在不知道最优解的情况下证明近似解与最优解的近似程度。

二、几个经典的近似问题

1、负载均衡问题

$\quad$负载均衡问题：给出$m$个机器，$n$个任务，设任务$j$处理时长为$t_j$。要求如下：

• 每个任务只能在一个机器上不间断的完成
• 每个机器不能同时处理多个任务

$\quad$设$S[i]$表示给机器$i$处理的任务集合，则机器$i$的处理时长为$L[i]=\sum_{j\in S[i]}t_j$。负载均衡问题的目标就是 找到一种任务分配方案使得$min(max(L[i]))$，即让每个机器处理的任务的时长尽可能均衡。
$\quad$这个问题是NPC问题，因为$Partiton问题 \le_P 负载均衡问题$。

近似策略1

$\quad$贪心策略：每次在机器中选出当前处理时长最短的机器处理下一个任务。时间复杂度为$O(nlogm)$，对于每个任务都需要从$m$个机器中选出处理时长最短的机器，这个用优先队列维护即可。这个近似算法是2-近似的，证明如下：

• 引理1：设最优解为$L^*$，则$L^*\geq max_jt_j$，因为至少一个机器要处理一个任务，所有任务中花费时间最长的任务所需时间为$max_jt_j$，故得到此不等式。
• 引理2：$L^* \geq \frac{1}{m}\sum_jt_j$。当每个机器处理任务的时长相同时$L^* = \frac{1}{m}\sum_jt_j$，显然其他情况下$L^* > \frac{1}{m}\sum_jt_j$。
• 假设最后一个任务$j$给了机器$i$，说明在此之前，机器$i$的负载时长最小，即$L[i]-t_j\le L[k](对任意k满足1 \le k \le m)$。
• 因为对任意一个机器$k$都满足$L[i]-t_j\le L[k]$，因此$m(L[i]-t_j)\le \sum_kL[k]$，即$L[i]-t_j\le \frac{1}{m}\sum_kL[k]=\frac{1}{m}\sum_j t_j \le L^*(引理2)$
• 到这里，该近似算法求解的结果$L=L[i]=(L[i]-t_j)+t_j \le L^*+L^*=2L^*$，即$L\le 2L^*$，该贪心策略是该问题的2-近似算法。

$\quad$该近似算法能达到最优解的2倍吗，即上述不等式是紧的吗？是紧的！

近似策略2

$\quad$策略2：将任务按照处理时长$t_j$从大到小排序，之后再每次在机器中选出当前处理时长最短的机器处理下一个任务。时间复杂度为$O(nlogn+nlogm)$。这个近似算法是$\frac{3}{2}-近似$的，证明如下：

• 引理3：假设有$m$个机器，超过$m$个任务，这些任务按照处理时长排好序，$t_1\ge t_2 \ge \cdots \ge t_{m+1} \ge \cdots$，则显然某个机器上至少要处理两个任务，则最优解$L^*\ge 2t_{m+1}$。
• 从近似策略1的推导可以得到$L=L[i]=(L[i]-t_j)+t_j$，假设机器$i$上至少有2个任务，则利用引理3可得$t_j\le \frac{1}{2}L^*$，故$L\le \frac{3}{2}L^*$，该策略是该问题的$\frac{3}{2}-近似$算法。

$\quad$该近似算法能达到最优解的$\frac{3}{2}$倍吗，即上述不等式是紧的吗？不是紧的！

2、中心点选择问题

$\quad$问题描述：给出$n$个点$s_1,\cdots,s_n$，从中选出$k$个点$C$，设每个点到最近的中心点$C$的距离为$d_i$，问采取何种策略选出这$k$个点使得$r(C)=max(d_i)$最小。这个问题是NPH问题。
$\quad$贪心策略：初始时随机选一个点作为中心点，之后的$k-1$次，每次遍历除已选做中心点的其他点，找出与该点距离最近的某个中心点计算出距离$d_j$。最后在这些点中找出$max_j d_j$对应的点作为下一个中心点。这个近似算法是2-近似的，证明如下：

• 设$C^*$是最优解对应的中心点，$C$是用上述贪心算法选出的中心点，则$r(C)\le 2r(C^*)$。

3、带权顶点覆盖问题

$\quad$图的每个顶点都有权重，找一个图的顶点集合能覆盖所有的边，问如何选择顶点使得这些顶点的权重和最小。用竞价法去近似求解。

• 对于某个顶点$i$，其权重为$w_i$，与该顶点相连的边记为$p$，给这些边赋值权重，使得$\sum_{e=(i,j)}p_e \le w_i$。
• 设$S$为任意一个集合覆盖，则$\sum_ep_e\le \sum_{i\in S}\sum_{e=(i,j)}p_e\le \sum_{i\in S}w_i=w(S)$，故$\sum_ep_e\le w(S)$。
• 算法流程：对于图中任意一条边$e=(i,j)$，令$p_e=0$，当$i,j$顶点的$\sum_{e=(i,j)}p_e<w_i,\sum_{e=(i,j)}p_e<w_j$时，增加$p_e$直到满足$\sum_{e=(i,j)}p_e=w_i或者\sum_{e=(i,j)}p_e=w_j$。这时候相等的那个顶点放入$S$中。
  
• 竞价法是2-近似算法，证明如下：