作者：鄒祁峯
郵箱：[email protected]
博客：http://blog.csdn.net/qifengzou
日期：2013.12.24 21:00
轉載請註明來自"祁峯"的CSDN博客

1 引言

在之前的博文中，本人對平衡二叉樹的處理做了較詳盡的分析，有興趣的朋友可以參閱博文《算法導論之平衡二叉樹 - 創建插入搜索銷燬》和《算法導論之平衡二叉樹 - 刪除》。平衡二叉樹AVL是嚴格的平衡樹，在增刪結點時，其旋轉操作的次數較多；而紅黑樹RBT則通過非嚴格的平衡來換取增刪結點時旋轉次數的降低。在應用中，如果搜索次數大於增刪次數，則選擇平衡二叉樹更好一些；而如果搜索與增刪次數接近時，紅黑樹則是更好的選擇。在有些資料中顯示，紅黑樹的統計性能要優於平衡二叉樹。

2 性質分析

紅黑樹是一種二叉查找樹，但在每個節點上增加一個存儲位表示結點的顏色[RED或BLACK]。通過對任一結點到葉子結點的路徑上各個結點着色方式的限制，確保沒有一條路徑會是其他路徑的2倍，因而是接近平衡的！因此，它能保證在最壞情況下，基本的動態集合操作的時間複雜度爲O(log2@N)[log2@N:以2爲底數，N爲對數]。[注：理論上平衡二叉樹的性能要優於紅黑樹，但是仍處同一數量級]

圖1 紅黑樹

紅黑樹有以下5種性質，所有對紅黑樹的處理都是圍繞這5種性質進行的。但是想通過以下5種性質的簡單描述就期望能夠深入理解紅黑樹，這似乎是不太可能的事情。因此，下面將結合圖1對其5種性質進行分別的解析。

①、每個節點要麼是紅色的，要麼是黑色的；

解析：任何一個結點都有一種顏色 —— 非紅即黑。從圖1中可以清楚的看出這一點。

②、根結點是黑色的；

解析：根結點只能爲黑色，不可能爲紅色。如圖1中的根結點爲13，其爲黑色。

③、所有葉子結點（NIL）都是黑色的；

解析：在圖1中的所有葉子結點（NIL）的顏色只能爲黑色的，不可能爲紅色。

④、如果一個結點是紅色，則它的兩個兒子都是黑色的；

解析：如圖1中的結點6、8、17、22、27爲紅色結點，其左右孩子結點只能爲黑色。即：樹中決不允許存在兩個連續的紅色結點。[注：但是允許兩個連續的黑色結點]

⑤、對任何一個結點，從該結點通過其子孫結點到達葉子結點（NIL）的所有路徑上包含相同數目的黑結點。

解析：以根結點爲例，其通過子孫結點到達葉子節點（NIL）的路徑有如下幾種情況：

路徑1：13(b) -> 8(r) -> 1(b) -> 葉子(b) | 3個黑結點：13、1、葉子

路徑2：13(b) -> 8(r) -> 11(b) -> 葉子(b) | 3個黑結點：13、11、葉子

路徑3：13(b) -> 8(r) -> 1(b) -> 6(r) -> 葉子(b) | 3個黑結點：13、1、葉子

路徑4: 13(b) -> 17(r) -> 25(b) -> 22(r) -> 葉子(b) | 3個黑結點：13、25、葉子

路徑5: 13(b) -> 17(r) -> 25(b) -> 27(r) -> 葉子(b) | 3個黑結點：13、25、葉子

路徑6: 13(b) -> 17(r) -> 15(b) -> 葉子(b) | 3個黑結點：13、15、葉子

....

至此，大家應該能夠明白性質⑤的真實含義了。

爲了便於處理紅黑樹代碼的邊界條件，我們採用一個哨兵來代表NIL。對於一個紅黑樹而言，哨兵NIL是一個與樹內普通結點有相同域的對象。它的color域爲BLACK，而其他域（parent，lchild，rchild和key）的值我們並不關心。

總之，紅黑樹是通過以上5種性質的限制約束了該樹的平衡性能 —— 即：該樹上的最長路徑長度不可能大於最短路徑長度的2倍，從而確保對樹操作的時間複雜度達到O（log2@N）。

3 編碼實現

3.1 結構定義

①、常值定義：增強代碼可讀性、方便代碼修改

/* 常值定義 */
#define RBT_COLOR_BLACK    'b'     /* 顏色：黑色 */
#define RBT_COLOR_RED      'r'     /* 顏色：紅色 */

#define RBT_LCHILD         (0)     /* 類型：左孩子 */
#define RBT_RCHILD         (1)     /* 類型：右孩子 */

#define RBT_MAX_DEPTH      (512)   /* 棧的深度(棧處理紅黑樹時使用) */

代碼1 常值定義

②、節點結構：在二叉查找樹的結構基礎上，新增color字段

/* 結點結構 */
typedef struct _rbt_node_t
{
    int key;                        /* 關鍵字 */
    int color;                      /* 結點顏色: RBT_COLOR_BLACK(黑) 或 RBT_COLOR_RED(紅) */
    struct _rbt_node_t *parent;     /* 父節點 */
    struct _rbt_node_t *lchild;     /* 左孩子節點 */
    struct _rbt_node_t *rchild;     /* 右孩子節點 */
}rbt_node_t;

代碼2 結點結構

③、樹結構：sentinel字段用於表示葉子結點（NIL）。當樹內結點的左（右）孩子爲葉子結點時，則將左（右）孩子指針指向sentinel字段。

/* 紅黑樹結構 */
typedef struct
{
    rbt_node_t *root;               /* 根節點 */
    rbt_node_t *sentinel;           /* 哨兵節點 */
}rbt_tree_t;

代碼3 樹結構

④、錯誤碼：用來記錄錯誤返回的類型，以便快速的確定程序中存在的異常

/* 錯誤碼 */
typedef enum
{
    RBT_SUCCESS                     /* 成功 */
    , RBT_FAILED = ~0x7fffffff      /* 失敗 */
    , RBT_NODE_EXIST                /* 結點存在 */
}rbt_ret_e;

代碼4 錯誤碼

⑤、宏定義：可有效的增強代碼的簡潔性、複用性、易讀性

#define rbt_set_color(node, c)  ((node)->color = (c))
#define rbt_set_red(node)   rbt_set_color(node, RBT_COLOR_RED)
#define rbt_set_black(node) rbt_set_color(node, RBT_COLOR_BLACK)
#define rbt_is_red(node)    (RBT_COLOR_RED == (node)->color)
#define rbt_is_black(node)   (RBT_COLOR_BLACK == (node)->color)

/* 設置左孩子 */
#define rbt_set_lchild(tree, node, left) \
{ \
    (node)->lchild = (left); \
    if (tree->sentinel != left) { \
        (left)->parent = (node); \
    } \
}

/* 設置右孩子 */
#define rbt_set_rchild(tree, node, right) \
{ \
    (node)->rchild = (right); \
    if (tree->sentinel != right) { \
        (right)->parent = (node); \
    } \
}

/* 設置孩子節點 */
#define rbt_set_child(tree, node, type, child) \
{ \
    if (RBT_LCHILD == type) { \
        rbt_set_lchild(tree, node, child); \
    } \
    else { \
        rbt_set_rchild(tree, node, child); \
    } \
}

代碼5 宏定義

3.2 創建對象

創建的初始紅黑樹對象是一棵空樹，其根節點爲NULL，但是此時必須爲葉子結點（哨兵）分配好空間，並將葉子結點的顏色置爲黑色（性質3），以方便後續對樹的操作處理。

/******************************************************************************
 **函數名稱: rbt_creat
 **功    能: 創建紅黑樹對象(對外接口)
 **輸入參數: NONE
 **輸出參數: NONE
 **返    回: 紅黑樹對象地址
 **實現描述: 
 **注意事項: 
 **     1、每個結點要麼是紅色的，要麼是黑色的；
 **     2、根結點是黑色的；
 **     3、所有葉子結點（NIL）都是黑色的；
 **     4、如果一個結點是紅色，則它的兩個兒子都是黑色的；
 **     5、對任何一個結點，從該結點通過其子孫結點到達葉子結點（NIL）
 **         的所有路徑上包含相同數目的黑結點。
 **作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.24 #
 ******************************************************************************/
rbt_tree_t *rbt_creat(void)
{
    rbt_tree_t *tree = NULL;
    
    tree = (rbt_tree_t *)calloc(1, sizeof(rbt_tree_t));
    if (NULL == tree) {
        return NULL;
    }

    tree->sentinel = (rbt_node_t *)calloc(1, sizeof(rbt_node_t));
    if (NULL == tree->sentinel) {
        free(tree);
        return NULL;
    }

    tree->sentinel->color = RBT_COLOR_BLACK;
    tree->root = tree->sentinel;

    return tree;
}

代碼6 創建對象

3.3 旋轉處理

在添加和刪除過程中，可能破壞紅黑樹的5個性質之一，和平衡二叉樹的處理相似，可通過旋轉來恢復紅黑樹的性質，但紅黑樹的旋轉只有右旋和左旋2種。

右旋處理：

以結點N爲支點，進行右旋轉的處理描述：結點N的左孩子A取代N的位置，並將結點A的右孩子AR作爲結點N的左孩子，再將結點N作爲結點A的右孩子。

圖2 右旋處理

[注：旋轉過程並不關注結點顏色]

右旋處理對應的代碼如下所示：

/******************************************************************************
 **函數名稱: rbt_right_rotate
 **功    能: 右旋處理
 **輸入參數: 
 **     tree: 紅黑樹
 **     node: 旋轉支點
 **輸出參數: NONE
 **返    回: RBT_SUCCESS:成功 RBT_FAILED:失敗
 **實現描述: 
 **        G                       G
 **        |                       |
 **        N            ->         L
 **      /   \                   /   \
 **     L     R                 LL    N
 **    / \   / \                     / \
 **   LL LR RL RR                   LR  R
 **                                    / \
 **                                   RL RR
 **            說明: 節點N爲旋轉支點
 **注意事項: 
 **作    者: # Qifeng.zou # 2014.01.15 #
 ******************************************************************************/
void rbt_right_rotate(rbt_tree_t *tree, rbt_node_t *node)
{
    rbt_node_t *parent = node->parent, *lchild = node->lchild;
    
    if (tree->sentinel == parent) {
        tree->root = lchild;
        lchild->parent = tree->sentinel;
    }
    else if (node == parent->lchild) {
        rbt_set_lchild(tree, parent, lchild);
    }
    else {
        rbt_set_rchild(tree, parent, lchild);
    }
    rbt_set_lchild(tree, node, lchild->rchild);
    rbt_set_rchild(tree, lchild, node);
}

代碼7 右旋處理

左旋處理：

以結點N爲支點，進行右旋轉的處理描述：結點N的左孩子B取代N的位置，並將結點B的左孩子BL作爲結點N的右孩子，再將結點N作爲結點B的左孩子。

圖3 左旋處理

[注：旋轉過程並不關注結點顏色]

左旋處理對應的代碼如下：

/******************************************************************************
 **函數名稱: rbt_left_rotate
 **功    能: 左旋處理
 **輸入參數: 
 **     tree: 紅黑樹
 **     node: 旋轉支點
 **輸出參數: NONE
 **返    回: RBT_SUCCESS:成功 RBT_FAILED:失敗
 **實現描述: 
 **        G                       G
 **        |                       |
 **        N            ->         R
 **      /   \                   /   \
 **     L     R                 N    RR
 **    / \   / \               / \
 **   LL LR RL RR             L  RL
 **                          / \
 **                         LL LR
 **            說明: 節點N爲旋轉支點
 **注意事項: 
 **作    者: # Qifeng.zou # 2014.01.15 #
 ******************************************************************************/
void rbt_left_rotate(rbt_tree_t *tree, rbt_node_t *node)
{
    rbt_node_t *parent = node->parent, *rchild = node->rchild;
    
    if (tree->sentinel == parent) {
        tree->root = rchild;
        rchild->parent = tree->sentinel;
    }
    else if(node == parent->lchild) {
        rbt_set_lchild(tree, parent, rchild);
    }
    else {
        rbt_set_rchild(tree, parent, rchild);
    }
    rbt_set_rchild(tree, node, rchild->lchild);
    rbt_set_lchild(tree, rchild, node);
}

代碼8 左旋處理

3.4 添加操作

1）當向一棵空樹中添加結點時，則新結點將作爲整棵樹根結點，且爲黑色（性質2）；

圖4 空樹中添加根結點R

2）當向一棵非空樹中添加一個結點時，新結點的顏色都是爲紅色。添加成功後，需要判斷是否破壞了紅黑樹的5個性質。經過分析，可以發現，向非空樹中添加一個結點，不可能破壞性質1、2、3、5，唯一可能被破壞只有性質4 —— 出現2個連續的紅結點[新節點和父節點爲紅色]，且性質4被破壞，只有如下六種情況：

============================================================================

前提1：父節點P爲祖父節點G的左孩子

============================================================================

情況1）：叔結點U爲紅色

前提條件：新結點N和父結點P都爲紅色，父結點P爲G的左孩子

情況描述：叔結點U爲紅色時 [注：此時不必關心新結點N是左孩子還是右孩子]

處理過程：[代碼：參考rb_insert_fixup()中的case 1]

①、將父結點P和叔結點U的顏色改爲黑色，將祖父結點G改爲紅色

②、把祖父結點作爲下一次判斷的對象

圖5 叔結點U爲紅色，新結點N爲左孩子

圖6 叔結點U爲紅色，新結點N爲右孩子

情況2）：叔結點爲黑色，新結點N爲右孩子

前提條件：新結點N和父結點P都爲紅色，父結點P爲G的左孩子

情況描述：叔結點U也爲黑色，新結點N爲右孩子時

處理過程：[代碼：參考rb_insert_fixup()中的case 2]

①、調整顏色：將父結點P改爲黑色，將祖父結點改爲紅色

②、向右旋轉90度：父結點P取代祖父結點G的位置，同時將父結點的右子樹PR作爲祖父結點G的左子樹，祖父結點G作爲父結點P的右孩子

③、把祖父結點的父結點GP改爲下一次判斷的對象

圖7 叔結點U爲黑色，新結點N爲左孩子

[注意：藍色結點表示顏色可能爲紅，也可能爲黑]

情況3）：叔結點爲黑色，新結點N爲右孩子

前提條件：新結點N和父結點P都爲紅色，父結點P爲G的左孩子

情況描述：叔結點U也爲黑色，新結點N爲右孩子時

處理過程：[代碼：參考rb_insert_fixup()中的case 3]

①、向左旋轉90度：新結點N取代父結點P的位置，同時將新結點的左子樹NL作爲父結點P的右子樹，父結點P作爲新結點N的左孩子

②、把父結點P改爲下一次判斷的對象 [注意：經過①、②、③處理後，情況3演變了情況2]

圖8 叔結點U爲黑色新結點N爲右孩子

[注意：藍色表示顏色可能爲紅，也可能爲黑]

============================================================================

前提2：父節點P爲祖父節點G的右孩子

============================================================================

情況4）：叔結點U爲紅色

前提條件：新結點N和父結點P都爲紅色，父結點P爲祖父G的右孩子

情況描述：叔結點U爲紅色時 [注：此時不必關心新結點N是左孩子還是右孩子]

處理過程：[代碼：參考rb_insert_fixup()中的case 4]

①、將父結點P和叔結點U的顏色改爲黑色，將祖父結點G改爲紅色

②、把祖父結點作爲下一次判斷的對象

圖9 叔結點U爲紅色新結點N爲右孩子

圖10 叔結點U爲紅色新結點N爲左孩子

情況5）：叔結點U爲黑色，新結點N爲父結點P的左孩子

前提條件：新結點N和父結點P都爲紅色，父結點P爲祖父結點G的右孩子

情況描述：叔結點U爲黑色，新結點N爲左孩子時

處理過程：[代碼：參考rb_insert_fixup()中的case 5]

①、向右旋轉90度：新結點N取代父結點G的位置，同時將新結點的右子樹NR作爲父結點G的左子樹，父結點G作爲新結點的右孩子

②、把父結點P改爲下一次判斷的對象[此時case 5演變爲case 6]

圖11 叔結點U爲黑色新結點N爲左孩子

[注意：藍色表示顏色可能爲紅，也可能爲黑]

情況6）：叔結點U爲黑色，新結點N爲父結點P的右孩子

前提條件：新結點N和父結點P都爲紅色，父結點P爲G的右孩子

情況描述：叔結點U爲黑色，新結點N爲右孩子時

處理過程：[代碼：參考rb_insert_fixup()中的case 6]

①、顏色調整：將祖父結點G改爲紅色，父結點P改爲黑色

②、向左旋轉90度：父結點P取代祖父結點G的位置，同時將父結點的左子樹PL作爲祖父結點G的右子樹，祖父結點G作爲父結點P的左孩子

③、把祖父結點的父結點GP改爲下一次判斷的對象

圖12 叔結點G爲黑色新結點N爲右孩子

[注意：藍色表示顏色可能爲紅，也可能爲黑]

/******************************************************************************
 **函數名稱: rbt_creat_node
 **功    能: 創建關鍵字爲key的結點(內部接口)
 **輸入參數: 
 **     key: 紅黑樹
 **     color: 結點顏色
 **     type: 新結點是父結點的左孩子還是右孩子
 **     parent: 父結點
 **輸出參數: NONE
 **返    回: RB_SUCCESS:成功 RB_FAILED:失敗
 **實現描述: 
 **注意事項: 新結點的左右孩子肯定是葉子結點
 **作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.23 #
 ******************************************************************************/
rbt_node_t *rbt_creat_node(rbt_tree_t *tree, int key, int color, int type, rbt_node_t *parent)
{
    rbt_node_t *node = NULL;

    node = (rbt_node_t *)calloc(1, sizeof(rbt_node_t));
    if (NULL == node) {
        return NULL;
    }

    node->color = color;
    node->key = key;
    node->lchild = tree->sentinel;
    node->rchild = tree->sentinel;
    if (NULL != parent) {
        rbt_set_child(tree, parent, type, node);
    }
    else {
        node->parent = tree->sentinel;
    }

    return node;
}

代碼9 創建key值結點

/******************************************************************************
 **函數名稱: rbt_insert
 **功    能: 向紅黑樹中增加節點(對外接口)
 **輸入參數: 
 **     tree: 紅黑樹
 **     key: 需被添加的關鍵字
 **輸出參數: NONE
 **返    回: RBT_SUCCESS:成功 RBT_FAILED:失敗 RBT_NODE_EXIST:節點存在
 **實現描述: 
 **     1. 當根節點爲空時，直接添加
 **     2. 將節點插入樹中, 檢查並修復新節點造成紅黑樹性質的破壞
 **注意事項: 
 **  紅黑樹的5點性質:
 **     1、每個結點要麼是紅色的，要麼是黑色的；
 **     2、根結點是黑色的；
 **     3、所有葉子結點(NIL)都是黑色的；
 **     4、如果一個結點是紅色，則它的兩個兒子都是黑色的；
 **     5、對任何一個結點，從該結點通過其子孫結點到達葉子結點(NIL)
 **         的所有路徑上包含相同數目的黑結點。
 **注意事項: 插入節點操作只可能破壞性質(4)
 **作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.23 #
 ******************************************************************************/
int rbt_insert(rbt_tree_t *tree, int key)
{
    rbt_node_t *node = tree->root,
              *add = NULL, *parent = NULL;

    /* 1. 當根節點爲空時，直接添加 */
    if (tree->sentinel == tree->root) {
        /* 性質2: 根結點是黑色的 */
        tree->root = rbt_creat_node(tree, key, RBT_COLOR_BLACK, 0, NULL);
        if (tree->sentinel == tree->root) {
            return RBT_FAILED;
        }
        return RBT_SUCCESS;
    }
    
    /* 2. 將節點插入樹中, 檢查並修復新節點造成紅黑樹性質的破壞 */
    while (tree->sentinel != node) {
        if (key == node->key) {
            return RBT_NODE_EXIST;
        }
        else if (key < node->key) {
            if (tree->sentinel == node->lchild) {
                add = rbt_creat_node(tree, key, RBT_COLOR_RED, RBT_LCHILD, node);
                if(NULL == add) {
                    return RBT_FAILED;
                }
                
                return rb_insert_fixup(tree, add); /* 防止紅黑樹的性質被破壞 */
            }
            node = node->lchild;
        }
        else {
            if (tree->sentinel == node->rchild) {
                add = rbt_creat_node(tree, key, RBT_COLOR_RED, RBT_RCHILD, node);
                if (NULL == add) {
                    return RBT_FAILED;
                }

                return rb_insert_fixup(tree, add); /* 防止紅黑樹的性質被破壞 */
            }
            node = node->rchild;
        }
    }

    return RBT_SUCCESS;
}

代碼10 增加key值結點（內部接口）

/******************************************************************************
 **函數名稱: rb_insert_fixup
 **功    能: 插入操作修復(內部接口)
 **輸入參數: 
 **     tree: 紅黑樹
 **     node: 新增節點的地址
 **輸出參數: NONE
 **返    回: RBT_SUCCESS:成功 RBT_FAILED:失敗
 **實現描述: 
 **     1. 檢查紅黑樹性質是否被破壞
 **     2. 如果被破壞，則進行對應的處理
 **注意事項: 插入節點操作只可能破壞性質④
 **作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.23 #
 ******************************************************************************/
int rb_insert_fixup(rbt_tree_t *tree, rbt_node_t *node)
{
    rbt_node_t *parent = NULL, *uncle = NULL, *grandpa = NULL, *gparent = NULL;

    while (rbt_is_red(node)) {
        parent = node->parent;
        if (rbt_is_black(parent)) {
            return RBT_SUCCESS;
        }
        
        grandpa = parent->parent;
        if (parent == grandpa->lchild) { /* 父節點爲左節點 */
            uncle = grandpa->rchild;
            
            /* case 1: 父節點和叔節點爲紅色 */
            if (rbt_is_red(uncle)) {
                rbt_set_black(parent);
                rbt_set_black(uncle);
                if(grandpa != tree->root) {
                    rbt_set_red(grandpa);
                }
                node = grandpa;
                continue;
            }
            /* case 2: 叔結點爲黑色，結點爲左孩子 */
            else if (node == parent->lchild) {
                /* 右旋轉: 以grandpa爲支點 */
                gparent = grandpa->parent;
                rbt_set_red(grandpa);
                rbt_set_black(parent);

                rbt_right_rotate(tree, grandpa);
                node = gparent;
                continue;
            }
            /* case 3: 叔結點爲黑色，結點爲右孩子 */
            else {
                /* 左旋轉: 以parent爲支點 */
                rbt_left_rotate(tree, parent);
                
                node = parent;
                continue;
            }
        }
        else {                       /* 父節點爲右孩子 */
            uncle = grandpa->lchild;
            
            /* case 1: 父節點和叔節點爲紅色 */
            if (rbt_is_red(uncle)) {
                rbt_set_black(parent);
                rbt_set_black(uncle);
                if (grandpa != tree->root) {
                    rbt_set_red(grandpa);
                }

                node = grandpa;
                continue;
            }
            /* case 2: 叔結點爲黑色，結點爲左孩子 */
            else if (node == parent->lchild) {
                /* 右旋轉: 以parent爲支點 */
                rbt_right_rotate(tree, parent);
                node = parent;
                continue;
            }
            /* case 3: 叔結點爲黑色，結點爲右孩子 */
            else {
                /* 左旋轉: 以grandpa爲支點 */
                gparent = grandpa->parent;
                rbt_set_black(parent);
                rbt_set_red(grandpa);

                rbt_left_rotate(tree, grandpa);
                node = gparent;
                continue;
            }
        }
    }

    return RBT_SUCCESS;
}

代碼11 紅黑樹修復

3.4 結果展示

調用函數rb_insert，隨機添加20個不同的關鍵字，其最終生成的紅黑樹如下圖所示： [注意：紅黑樹的打印可以參考《算法導論之紅黑樹 - 打印》]

圖13 打印構建

圖11對應的紅黑樹結構如下圖所示：

圖14 樹型結構

[注：未繪製葉子結點]

算法導論之紅黑樹 - 添加[C語言]

1 引言

2 性質分析

3 編碼實現

3.1 結構定義

3.2 創建對象

3.3 旋轉處理

3.4 添加操作

3.4 結果展示

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1 引言

2 性質分析

3 編碼實現

3.1 結構定義

3.2 創建對象

3.3 旋轉處理

3.4 添加操作

3.4 結果展示

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