用數學公式的角度來推導傅里葉變換

用數學公式的角度理解傅里葉變換

我們覺得傅里葉變換太難，除了它的概念不好理解之外，最重要的原因是高數沒有學好，最基本的積分微分三角函數都不理解，這怎麼能學好呢？比如書上給你一個最簡單的公式，因爲別人覺得這個公式太簡單了，只要稍微學過高數的人都能推導出來，但是你的高數在一年級是沒有好好學，到了二年級就基本全部忘光了。這學期來學習信號與系統當然難。不過沒關係，本文將帶你用最基本的數學公式來理解最複雜的傅里葉變換，包括指數形式和三角形式的傅里葉變換。

什麼是完備的三角正交基礎？

在這個集合中任意兩個函數不同的函數在一個週期內（如$(-\pi, \pi)$）的上下定積分爲0。$\int_{t_{1}}^{t_{2}} f_{1}(t) f_{2}(t) d t=0$。則稱$f_{1}(t) f_{2}(t)$在區間$\left(t_{1}, t_{2}\right)$內正交（內即爲0）
舉一個最簡單的例子：

$sin 2 x$是奇函數在$(-\pi, \pi)$上的積分爲0.其他的都是一樣的。我就不多舉例子了。

傅里葉級數的公式的推導

我們知道任意一個週期函數$f(t)$都能通過無限三角函數疊加得到。這一點我默認大家都會。那麼這句話是不是可以當翻譯爲

但是大家感覺這個公式好像和書本上的不大一樣啊？？？
其實書本上的公式就是這個式子變形過去的，但是書上並沒有給出變形的過程，而是直接給出變了形之後的傅里葉級數的三角形式。搞的大家不知所云。看下面：

這樣就得到書上得公式了。
現在我們來求$a_{0}, a_{n}, b_{n}$

• 求$a_{0}$；兩邊同時在一個週期內積分
  
  可得
  
• 求$a_{n}$；兩邊同時乘以$\cos m \omega t$
  
  當$n \neq m$時，$\cos n \omega t$與$\cos m \omega t$正交爲0
  當$n=m$時，$\cos n \omega t$與$\cos m \omega t$不正交不爲0
  
  所以
  
• 求$b_{n}$；兩邊同時乘以$\cos m \omega t$
  方法和求$a_{n}$的方法一模一樣。這裏就不重複了，自己動手試一下。
  至此，我們就全部得到了傅里葉級數的三角形式了。
  下面的這兩種寫法都對，一般我們寫第二種。
  

指數形式的傅里葉級數

上面我們知道了三角形式的傅里葉級數，下面我們來看看指數形式的傅里葉級數了

歐拉公式

別的不多說我們先來證明這個公式，另外我們在歐拉公式的時候要記上面那個公式，在此基礎上會變形就可以了。
要推倒這個公式就必須會高數中的泰勒公式，如果你不知道泰勒公式，建議你去翻一下課本。
證明：

這三個公式分別爲其省略餘項的麥克勞林公式，其中麥克勞林公式爲泰勒公式的一種特殊形式在$e^{x}$的展開式中把x換成$\pm i x$

所以可得：$e^{\pm i x}=\cos x \pm i \sin x$
由此可得：$e^{i x}=\cos x+i \sin x$ 所以：$e^{-i x}=\cos x-i \sin x$
由上面的式子可以推導出：$\sin x=\frac{e^{i x}-e^{-i x}}{2 i}$ 和$\cos x=\frac{e^{i x}+e^{-i x}}{2}$
那麼將這兩個式子帶去傅里葉級數的三角形式：

求$F_{\mathrm{n}}$的方法很簡單，直接把在最上面求得$a_{n}, b_{n}$，帶入到$F_{\mathrm{n}}$中就求出來了。

至此，傅里葉級數的三角形式和指數形式都推導出來了。這些式子都要自己一步一步推導出來，只有把這個公式理解了，才能進行後續的學習，要不然後面學習傅里葉變換你根本搞不清楚。比如，傅里葉級數是求週期信號的，傅里葉變換是求非週期信號的。因爲非週期信號不好求，所以我們學了很多的傅里葉變換對，學了傅里葉變換的性質，當然學這些性質的目的一方面是爲了我們更好的理解傅里葉變換，另一方面是爲了我們能夠方便我們利用數學公式來求解非週期信號的傅里葉變換和頻譜。