信號與系統與數字信號處理丹梅老師公衆號筆記

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（一）關於教材
信號與系統 方面的教材太多太多了，都氾濫了。不同教材各有各的特點，經典教材經過時間考驗、多年以來多次出版的，肯定是好的。那些名不見經傳、爲了出書而出書的教材就還是算了吧。只是，“好的”不等於“適合自己的”。對於複習而言，我倒是覺得對於同一個知識點，多看幾本教材，可以加深自己的理解。
比如，奧本海姆的書是先講離散信號的傅里葉變換，而包括鄭君裏在內的大多數國內教材，都是先引入連續信號的傅里葉變換。B.P.Lathi的書，是先講拉氏變換和z變換，再講傅里葉變換。而其他大多數教材都是先頻域、再複頻域。
再比如，拉普拉斯變換，奧本海姆的，是以雙邊爲主，最後一節，才引出單邊；而包括鄭君裏在內的大多數教材，是以單邊拉氏變換爲主，最後說明一下雙邊。
再比如，鄭君裏的教材，物理概念和數學推導結合的比較好，強調物理意義。而吳大正的教材就更偏數學。
（二）關於做題

“老師，您的課講得很明白，但是我課能聽懂，做題無從下手”。我覺得這個問題有普遍性，是很多同學都會有的疑問。首先我想知道的是，讓你感覺“無從下手”的題，是基本題，還是有一定難度的題？或者乾脆是一些“難題、怪題、變態題”。如果是最後一項，那很正常，地球人都這樣。如果是第一項，那就說明基礎知識雖然聽懂了，但並沒有真正掌握。我的網課中，每一章或者每兩章最後都有一次習題課，習題課中的題目，就大多數是基本題，掌握這些題目，是基礎。
但是，我猜，最大的可能是第二種情況，有一定難度的題目，不是那種一看就知道怎麼做的，所以感覺無從下手。在掌握基本知識點、做會基本題的基礎上，我給以下幾點建議：
（1）要注意自己總結，注意，不是聽或者看別人的老師的總結，而是要自己總結；
（2）做題的時候，給這個題目歸類，考察的哪個或者哪幾個知識點？考察這個知識點的題目，以前做過沒有，和這個有哪些相同的地方、哪些不同的地方；
（3）不會的題，看了答案又會的，問問自己，爲什麼開始自己沒想到這樣做？以後遇到類似的，能不能會做；
（4）對於那種反覆出現反覆考察的知識點，想一想自己能不能出出類似的題目來？
信號與系統要拿高分，光聽課是不夠的，必須大量做題。但做題，要帶着思考去做，才能事半功倍。
比如，有同學問“老師，考研的學生跟着您的視頻就能應付嗎？”看到這樣的問題，大家的感覺是不是和我一樣想拿塊磚頭拍他呢？！還有同學問“老師，信號與系統怎麼複習？”讓我怎麼回答？？？

這裏順便吐槽一下。一直以來，大家（包括我在內）好像有個錯覺，覺得國外教授出的書就一定是嚴謹的、負責的。前幾天買的一本書讓我大跌眼鏡。

爲什麼有些同學覺得學得很累，課程很雜，從早忙到黑，結果考試一過還是什麼都沒學會？因爲他們還不會學習。學習自然科學者，最重邏輯。小到一門課程，大到一個學科，抓住它的邏輯關係就很容易學。能將其邏輯關係化入自己的邏輯體系中來，就很容易學會、學會就是自己的東西了，知識才轉化爲智力。
我們現在學習的自然科學，是西方的邏輯。大前提、小前提，得到結論。凡事都要問問一句爲什麼，它從哪裏來，將往哪裏去？前後左右都是什麼？如何相互影響、相互轉化？不去探究這些，就不是在學習。
學習本身就是一門功夫，所以做學生必定得下工夫去學習，這是學生的本職。面對滿堂灌的知識和花花綠綠的風，巋然不動、始終知道自己在學什麼、該怎麼學、學了幹什麼用，這纔是好學生。
“信號與系統”和“數字信號處理”是本科電子類專業的技術基礎課，根據專業不同，課程名稱和內容稍有調整，但主體內容一致。這兩門課程是一對姐妹課程。“信號與系統”中的很多知識點在“數字信號處理”課程的學習中都會用到。
有些院校將這兩門課程合二爲一，一般稱之爲“信號處理原理”或者“信號處理與系統”等。但更常見的是作爲兩門課程開課，安排在兩個學期。如果大二下學習“信號與系統”，那麼就是大三上學習“數字信號處理”；或者延後一個學期，分別在大三上和下兩個學期學習。也就是說，在這兩門課程中間隔一個暑假或者一個寒假，而且如果“信號與系統”開課早，那麼在距離學期末一個多月時可能就已經結束了，那麼等下學期再開始學習“數字信號處理”時，可能已經過去兩個多月甚至是三個月了。必然會對很多知識點有所遺忘，會對“數字信號處理”的學習造成一定的障礙。爲了幫助同學們儘快撿起“信號與系統”中學習過的，同時學習“數字信號處理”又要用到的重要知識點，每次開課前一週，我都會給學生一套題目，督促他們將前修課程中學習過的相關知識點複習一下，以便爲“數字信號處理”的學習掃清障礙。下面給大家分享這套題目。
信號與系統中已學知識點複習題
（一）離散時間信號與系統的時域分析
複習重點：常用離散時間信號的函數表達式、波形圖，差分方程的概念，單位衝激響應h(n)的概念、卷積和的物理含義及計算。

（二）傅里葉變換DTFT與z變換
複習重點：離散時間傅里葉變換DTFT的定義、物理含義、性質，z變換的定義與求解，系統頻率響應的概念，系統函數的概念。

信號與系統

關於“模擬信號”、“採樣信號”、“採樣序列”的概念

在學習採樣時，“模擬信號”、“採樣信號”、“採樣序列”的這幾個名詞比較拗口，它們到底是什麼意思？相互之間有什麼區別和聯繫呢？

爲什麼學習“信號的恢復”（或稱爲“信號的重構”）？有什麼意義？

在分析完採樣信號的時頻域過程，得出採樣定理之後，我們都要緊接着學習“信號的恢復”（或稱爲“信號的重構”），同學們在學習這部分內容時，經常會疑惑：爲什麼採樣後，又要恢復原來的模擬信號，有什麼用？有的同學就直截了當地說，這不是沒事找事嗎？^^
在實際中，是不可能把一個信號先“採樣”，然後就“恢復”的，而是按下面一個流程圖進行處理，即對採樣並量化（即ADC）後的數字信號按要求進行處理後，在經過DAC，還原爲模擬信號輸出。學習時，直接將採樣信號xs(t)通過理想低通，恢復出原來的模擬信號，只是從原理上分析和驗證，滿足採樣定理的條件下，能夠根據離散時間樣本完全精確地重構原來的模擬信號。

滿足採樣定理條件下的理想採樣後信號的恢復

模擬角頻率和數字域頻率的大小寫之爭

大家在學習“信號與系統”課程時，連續時間信號對應的頻域變量用w（小寫），而離散時間信號對應的頻域變量用W（大寫）。但在學習“數字信號處理”課程時，會驚訝地發現，二者反過來了！開始會覺得很不習慣。而且，大家如果去圖書館翻閱一下這兩門課程的書籍，發現也是這樣的規律：“信號與系統”方面的教材，是連續時間對應的頻域變量爲w（小寫），而離散時間對應的頻域變量用W（大寫）；而“數字信號處理”方面的教材正好是相反的。爲什麼這樣呢？

關於頻域變量的大小寫之爭，可以說是伴隨着“信號與系統”和“數字信號處理”這兩門課程的誕生而一直存在的。大家可以這樣理解，作爲一個函數的自變量，大家覺得用小寫字母方便，還是大寫字母方便呢？肯定是用小寫字母方便。好了，既然這樣，“信號與系統”中涉及到頻域的部分中，大多數篇幅是研究連續時間信號的，離散時間信號的頻域分析只佔一小部分，所以它自然選擇用小寫字母w作爲自己最常用的連續時間信號的頻域變量。而“數字信號處理”中恰恰相反，大多數篇幅是研究離散時間信號的，所以它就選擇用小寫字母w作爲離散時間信號的頻域變量，對於連續時間信號的頻域變量，那對不起了，只好用大寫字母W了。
最後需要強調的是，模擬角頻率和數字域頻率，其物理含義是根本不同的，以後會單獨撰文進行闡述。

模擬角頻率和數字域頻率之間的關係如何理解？

模擬角頻率W和數字域頻率w是數字信號處理中非常重要的兩個概念，因爲我們經常需要將模擬信號離散化後再進行頻域分析，那麼，得到的是數字域頻率，必須正確地轉換爲模擬角頻率後，才能得到分析對象——模擬信號的頻域信息。
模擬角頻率W和數字域頻率w的關係式很簡單，如下式：
w=WT=W/fs
其中，T爲採樣間隔，單位：秒，fs爲採樣頻率，單位：赫茲Hz，模擬角頻率的單位爲：弧度/秒，所以，數字域頻率單位爲：弧度，是無量綱的，其含義爲表示序列中相鄰兩個樣本值之間變化的弧度。即：數字域頻率是模擬角頻率相對於採樣頻率的歸一化頻率。
可以從一下兩個方面來推出二者的關係式。
（1）根據連續時間正弦信號採樣得到離散時間正弦信號來得到
連續時間正弦信號的表達式爲xa(t)=cos(Wt)，以T爲間隔進行採樣，得到離散時間正弦信號
x(n)=xa(t)|t=nT=cos(WnT)，又記爲x(n)= cos(wn)，比較兩式，顯然有，w=WT
（2）根據採樣信號的傅里葉變換和序列的離散時間傅里葉變換來得到
我們知道，採樣信號xs(t)的傅里葉變換是將連續時間信號的傅里葉變換（以模擬角頻率W爲橫軸）以2π/T爲週期延拓得到，而序列的DTFT是以2π爲週期（以數字域頻率w爲橫軸），二者本質上是一致的，如下圖所示。不同之處在於橫軸座標進行了一個變換，變換關係即爲w=WT。

錯題解析——傅里葉變換求解

系統的時域分析方法

一、方程的建立

即用數學模型來描述系統，連續時間系統用微分方程，離散時間系統用差分方程。我們的研究對象爲LTI（線性時不變）系統，所以描述系統的方程爲常係數線性微分/差分方程。這部分內容不是重點。

二、響應的求解及分析

包括四個方面：
1、零輸入響應
2、單位衝激響應h(t)/單位樣值響應h(n)
3、零狀態響應
4、響應模式分析
下面講以下幾個問題：

第一

時域分析的兩大前提：第一個前提，任意信號可以分解爲衝激信號和（這部分不展開講，見圖2）；第二個前提，討論的系統具有線性時不變系統，故系統響應可分解爲零輸入響應與零狀態響應之和，零狀態響應又可表示爲衝激響應的和。簡言之，就是“信號的分解，響應的合成”。

第二，關於零時刻：

零時刻：開始研究系統的時刻，也即是激勵加入的時刻。0-時刻：激勵加入之前的瞬時、0+時刻：激勵加入之後的瞬時。
0-狀態：0-時刻系統的狀態；0+狀態：0+時刻系統的狀態。
起始點的跳變——從0-到0+狀態的轉換，是一個難點問題。可以參看鄭君裏教材。

第三，響應的求解也就是方程的求解。

高數中學習過的微分方程的求解方法（經典法）：全解（全響應）=齊次解+特解。
全響應=零輸入響應+零狀態響應。
這兩者有和區別與聯繫？
零輸入響應、零狀態響應：是從“是誰來產生/引起這部分響應”這個角度來分。零輸入響應，是輸入爲零，由系統的初始儲能產生的響應；零狀態響應，是系統初始儲能爲零，由外加激勵產生的響應。
齊次解、特解：是從“響應模式的形式由誰決定”這個角度來分。齊次解的函數形式只與系統本身特性有關，稱爲系統的自然響應；特解的函數形式由外加激勵信號的形式決定，稱爲系統的強迫響應。

第四，單位衝激響應/單位樣值響應

是特殊的零狀態響應，特殊在哪呢？系統初始儲能爲零，僅由單位衝激信號所產生的響應。
求解方法：連續系統，用衝激平衡法；離散系統，用遞推法。

第五，響應的時域求解方法不是重點（這裏講的系統響應的求解，也都可以用拉氏變換、z變換的方法求解），但是難點。

一個簡單的問題-歐拉公式

這位同學的問題不是求1/t的傅里葉變換，這個他會求，並且求的也對。他的問題是：爲什麼j就表示pai/2，-j就是-pai/2
（順便說一句哈，如果哪位能告訴我怎麼在微信裏能打出這個東東，而不用插入圖片的方式，那就灰常感謝啦）
這個問題是在是簡單，但是又實在是很多同學曾經問過我的問題。那麼我就回答一下吧。已經知道的同學略過哈。

複數，大家高中就知道了吧。有兩種表示方法，一種是z=a+jb，a是實部，b是虛部，第二種是

r 稱爲模，thita 稱爲輻角。我們信號課中，通常把r稱爲“幅度”，thita 稱爲“相位”。幅度、相位與實部、虛部之間的關係是：

這個上過高中的都知道吧。這樣，我們就可以根據一個信號的傅里葉變換，求出它的幅度譜和相位譜。
但是爲什麼大家會有上述問題呢？關鍵就是，經常有實部a=0或者虛部b=0的情況，怎麼求相位譜呢？
就要用到下面這個了：


畫個圖一目瞭然。複數平面上，畫個半徑爲1的圓，與橫軸的交點，就是+1和-1，角度就是0和π。與縱軸的交點，就是+j和-j，角度就是π/2和-π/2.

傅里葉級數

二、常用信號的傅里葉變換
衝激信號、階躍信號、符號函數、直流信號、正弦信號、餘弦信號、單邊指數衰減信號、雙邊指數衰減信號、門函數（矩形脈衝信號）、鐘形脈衝信號（高斯脈衝）、升餘弦脈衝信號、sinc函數等等。以及它們的各階導數和微分。
這些常用信號，有普通信號，也有奇異信號；有滿足絕對可積條件的，也有不滿足絕對可積條件的。它們的傅里葉變換的求解，分爲三種情況：
第一種，直接利用定義式求解；第二種，利用已有的變換對和性質求解；第三種，特殊方法（比如階躍信號u(t)、符號函數等）。
有些要記住、有些（比如雙邊指數信號、鐘形脈衝、升餘弦脈衝等）要能推導出來。

常用信號的傅里葉變換對

第一條線：從衝激信號出發。

利用時域微分特性，可推出高階衝激信號的FT。
利用時移特性，可以推出移位的衝激信號的FT。
利用對稱性，可推到出直流1的傅里葉變換；再利用頻域微分，可推出t的FT；利用頻移特性，可推出虛指數信號的傅里葉變換，再利用歐拉公式，可推出正餘弦信號的傅里葉變換。

第二條線：從因果的單邊指數衰減信號的FT出發。

令t=-t，可推到出反因果（左邊）的指數衰減信號的FT；二者結合，可推出雙邊的指數衰減信號的FT，包括兩種，一種是偶對稱的雙邊指數信號，一種是奇對稱的雙邊指數信號。
令a→0，可推到出階躍信號u(t)的傅里葉變換。注意，除了1/jw之外，還有一項衝激函數。
從雙邊指數衰減信號的FT出發，令a→0，可推到出直流1的FT和符號函數的FT。再利用符號函數與階躍信號的關係，又可以推到出u(t)的FT；或者利用對稱性，可以推到出1/t的FT。

第三條線：從矩形脈衝信號的FT出發。

幅度爲1/τ的矩形脈衝，令脈寬τ→0，得到衝激信號的FT；
利用對稱性，可推到出時域sinc信號的傅里葉變換；
利用時域卷積特性，把兩個寬度相同的矩形脈衝做卷積，可推導出三角脈衝的FT；把兩個寬度不同的矩形脈衝做卷積，可推到出梯形脈衝的FT。

傅里葉變換的性質

利用傅里葉變換這個工具，我們可以從信號的時域描述（以時間t爲自變量的函數x(t)）得到它的頻域描述（X(jw)），反之亦然。傅里葉變換的性質就是研究這兩個域——時域和頻域之間的對應關係，什麼對應關係呢？我們可以用兩句話來總結，第一句話，一個域中的某些特性在另外一個域中對應什麼特性？第二句話，一個域中的某種運算在另外一個域中發生什麼變化？具體來說，哪些特性、哪些運算呢？比如，奇偶對稱特性、展縮運算、平移、積分/微分等等。
任何一本教材上，都有傅里葉變換性質的列表，這裏不面面俱到。重點講以下幾個：

展縮特性

矩形脈衝信號的傅里葉變換對能特別直觀地展現展縮性質。

矩形脈衝的脈寬增大，時域上，非零值的時間範圍增加；頻域上，頻譜更集中在頻率原點附近。即“時域擴展，頻譜壓縮”，反之亦然。磁帶放音的例子形象而生動。展縮特性，從理論上證明了時域與頻域的相反關係，也證明了信號的時寬帶寬積等於常數的結論。通信中，若要壓縮信號的持續時間，則信號的帶寬就要展寬。要壓縮信號的有效頻帶，就不得不增加信號的持續時間。
一般而言，時域有限，頻譜無限，反之亦然。不存在時域和頻域都有限的信號。

時移頻移特性

時域平移，對應頻域，幅頻特性不變，相位譜產生附加的線性變化（+wt0）。所以波形的形狀不變，因爲各個頻率分量的相對大小關係不變（對應幅度譜不變）、在時間軸上的相對位置關係也不變（對應相位增加一個wt0，和w成線性關係）。
頻移呢，頻譜的搬移是通信系統中應用廣泛的技術，例如調製、解調、變頻等，都是在頻移的基礎上完成的，頻移特性是其理論基礎。
利用頻移特性，我們可以推導出虛指數信號、正弦餘弦信號的傅里葉變換。這三個信號都是不滿足絕對可積條件的，其傅里葉變換中都存在衝激函數。

微分特性

時域微分特性和頻域微分特性，可以用來求解利用公式不能或者不易求解的變換對，比如衝激偶函數、tu(t)等等。
微分特性，在系統的頻域分析中很重要。因爲描述連續時間系統的是微分方程，我們可以想到，傅里葉變換的方法，必將在微分方程求解（即系統響應求解）、系統分析中大有用武之地。

積分特性

積分特性也是主要用來求解一些比較複雜的信號的傅里葉變換。但是應用的時候要注意，不能把積分特性當做微分特性的倒過來，而要注意其中的直流分量，否則就會出錯。

傅里葉變換的時域微分和積分特性的易錯點

對稱特性（互易性）

最後來說一說這個神奇而美麗的性質。
如果某個信號，在時域上有某種紅色的特性，它在頻域上有藍色的特性，而另外一個信號，在時域上有這種藍色的特性，那麼它在頻域上，就會以某種類似於剛纔那種紅色的特性表現出來。
很多變換對體現了這一點。
比如，時域上的衝激信號，頻譜是1；而時域上的直流1，對應頻譜爲2π乘上衝激函數。
再比如，時域上的矩形脈衝，頻譜爲sinc函數；而時域的sinc信號，頻譜爲矩形函數。
很多傅里葉變換的性質也體現了這一點，比如時移特性與頻移特性、時域微分與頻域微分，等等。

最後，提一下傅里葉反變換的求解方法，有以下三種：

• 利用傅里葉反變換的定義式求解
• 利用FT的性質求解
  特別提一點，互易對稱性。
• 部分分式展開法
  部分分式展開法，不僅僅是傅里葉反變換的求解方法之一，也是後面的拉氏變換、z變換的反變換求解方法。

一道利用“時域積分特性”求解的題目

週期信號的傅里葉變換

週期信號，不滿足絕對可積，如果帶入到傅里葉變換的公式裏，積分是不收斂的，那是不是就意味着，週期信號的傅里葉變換不存在呢？不是的。我們前面在講解傅里葉變換的性質時，已經求解出了正餘弦信號的傅里葉變換對，發現它們的傅里葉變換中有衝激函數，所以，通過引入衝激函數，不滿足絕對可積條件的週期信號，也可以用傅里葉變換來表示。這樣，傅里葉變換就把傅里葉級數統一起來了。
傅里葉級數和傅里葉變換之間到底是什麼關係呢？用下圖很容易理解二者的關係。

週期信號的傅里葉變換是一系列強度爲2πXk，發生在諧波頻率kw0上的衝激串的線性組合，仍是離散譜。

可以推導出一個非常重要、非常有趣、非常美麗的一個變換對，如下圖

一道關於採樣的題目

、

LTI系統的頻率響應

一、頻率響應

系統的頻率響應H(jw)就是單位衝激響應h(t)的傅里葉變換。它體現了系統對輸入信號頻譜的變換作用，體現了系統的頻域特性。爲什麼這麼說呢？爲什麼h(t)的傅里葉變換就能這麼牛?就能擔此重任呢？
回想一下h(t)是什麼？h(t)是系統對單位衝激信號的響應。而單位衝激響應是時域分析的基本信號，任何一個連續時間信號，都能分解成單位衝激信號之和的形式。所以，h(t)就能反映系統時域的基本特性。
那麼，頻域的基本信號是什麼呢？頻域的基本信號是虛指數信號。所以首先來看頻域分析的基本信號（也就是虛指數信號）通過LTI系統後的響應（此部分內容在FS部分已經講過了）。

也就是說，頻率爲w的虛指數信號通過系統後，依然是頻率爲w的虛指數信號，但幅度（是複數幅度）發生了變化——乘以H(jw)。所以H(jw)才能擔此重任，它才能代表系統頻域的特性，它才能夠體現系統對輸入信號的頻譜的變換作用。
從上圖中的結論出發，還可以推導出正弦信號cos(w0t)通過系統之後的響應。推導過程如下圖所示。注意這裏有個前提，系統爲實系統（也就是h(t)是實函數，所以它的FT即H(jw)是一個共軛對稱函數，即模式偶函數、相位是奇函數）。cosw0t通過系統之後，依然是頻率爲w0的正弦，但模和相位改變了，模乘了頻率響應H(jw)在w0處的取值的模，相位增加了一個角H(jw)在w0處的取值。利用這個式子，來理解“系統是一個頻譜變換器”很方便。
理解頻率響應的概念，不管是從對物理概念的理解，還是從做題的角度，都非常重要。

考研題1

詳解過程

考研題2

爲了防止誤導大家，我在上圖中畫了個半對號。爲什麼說半對呢？如果我們定義幅度譜爲頻率響應函數的模值的話，那麼它就一定是正值，而Sa函數的值有正有負（主瓣和第二、四、六…旁瓣值爲正，而第一、三、五…旁瓣值爲負）。
也就是說，幅度譜應該是Sa函數的絕對值，那麼相位譜呢？也就不再是-Tw/2這麼簡單了。我們知道：

解釋一下上圖，當Sa小於零時，相位爲什麼是加上或者減去Π呢？我們知道，+Π和-Π相差一個2Π，而角度差2Π，是沒有差別的（因爲e^(j2Π)=1）。那我爲什麼規定w>0時+Π，而w<0時-Π呢？無非是爲了遵從相位譜奇對稱這一特點。

從上圖我們會發現，本來很簡單的-wT/2，表示形式變得很麻煩。而這一麻煩，是我們自找的，因爲我們非要幅度譜爲正。能不能不自找麻煩呢？當然可以，那就放寬條件，我們允許幅度譜爲負（只要它是實函數就OK了）。爲了避免混淆，給出另外一組名詞**——幅度函數和相位函數**。上題中，採用幅度函數和相位函數，如下圖，就可以打對號了。

在信號處理實際應用中，“幅度函數、相位函數”這樣的描述系統頻響的方式更爲方便、從而更爲常見。比如數字信號處理中的線性相位濾波器中的“相位”就指的是允許幅度函數可正可負的情況下得到的“相位函數”。

但是，問題是，題目中是讓畫“幅頻特性和相頻特性曲線”，而信號與系統課程中一般指的是**“幅度譜”和“相位譜”**，那應該怎麼畫圖呢？

幅度譜就沒必要再說了，把Sa取個絕對值就OK了。負的變成正的就行了。關鍵是相位譜，怎麼改？見下圖。

以w的正半軸爲例進行分析，在0-2Π/T、4Π/T-6Π/T、8Π/T-10Π/T…範圍內（對應幅度譜的主瓣以及第二、四…旁瓣），相位譜爲斜率-T/2的過原點斜線；而在2Π/T-4Π/T、6Π/T-8Π/T…範圍內（對應幅度譜的第一、三…旁瓣），相位譜要在上述斜線的基礎上向上移動Π。w負半軸的情況類似，只不過“向上移動Π”改爲“向下移動Π”。

但是，大家注意到了嗎？我在圖上加了一行小字“不常用的形式”。爲什麼呢？常用的形式見下圖。

是不是好看多了？有同學可能不服氣了，憑啥呀？對比圖10和圖9，差別在哪裏？圖10的相位都限定在了±Π之間。圖9中，超出±Π範圍的相位，都通過加上或者減去2Π的整數倍，把它強制變到±Π之間。前面解釋過了，角度差2Π，是沒有差別的（因爲e^(j2Π)=1）。所以，我們說，圖10和圖9，沒有差別，除了圖10更好看。那我們當然用好看的啦。所以，大家見到的相位譜，都是長圖10這個樣。

費了大量的篇幅，把第一問解決了。第二問比較簡單，沒什麼好說的，直接給出兩種做法。

考研題3

零狀態輸出Y(jw)=輸入X(jw)×頻率響應H(jw)，一定成立嗎？

學過信號與系統的人都知道下面兩個結論：
*時域上：輸出y(t)=輸入x(t)單位衝激響應h(t)；
頻域上：輸出Y(jw)=輸入X(jw)×頻率響應H(jw)。
但是我們不能忘記這兩個結論得出的前提：針對LTI（線性時不變系統）。也就是說，如果不是線性時不變系統，上述兩個“=”是不成立的。
下面看一道題目：

【解答】
（1）既然是求單位衝激響應，那毫無疑問，我們令輸入爲單位衝激信號，此時的輸出就是所求了。

得出這個結果之後，我們心中不免一驚，咦？爲何求出來的h(t)就等於框框中的hl(t)呢？這不科學呀，前面還有與cos相乘的部分呢？難道沒起作用？

我們先暫且收起疑問，繼續往下做。

（2）毫無疑問，我們需要從頻域出發來求解，先求輸入信號f(t)的傅里葉變換。

有的同學就說了，輸入信號是個帶通信號，頻譜位於w0附近，而系統的頻率響應是個低通，帶寬既然爲2wc，而w0遠大於wc，這說明信號全部對過濾掉了。把圖3中的F(jw)與圖2中的 H(jw)相乘，也會得到輸出爲0。

但是，從系統的處理過程來看，把頻譜以w0爲中心的帶通信號，與cos(w0t)相乘，頻譜會搬移回w=0附近，從而變成低通信號。再通過理想低通濾波器。這就是解調的過程啊。如下圖。

兩種分析爲何結論不同？哪種對？

顯然，圖4的方法是對的。此題不能運用“Y(jw)=X(jw)×H(jw)”這個關係式，爲什麼呢？因爲這個系統是時變系統，而“Y(jw)=X(jw)×H(jw)”這個等式，是根據“y(t)=x(t)*h(t)”利用傅里葉變換的時域卷積定理得出的。對於時變系統，“y(t)=x(t)*h(t)”就是不成立的，“Y(jw)=X(jw)×H(jw)”當然也不成立了。

二、LTI系統中信號的傳輸

從頻域角度看系統的傳輸作用，就是對輸入信號中每個頻率成分改變的情況，這種改變包括兩方面：幅度的改變（大小關係）和相位的改變（在時間軸上的位置關係），即系統起到頻譜變換的作用。
這種傳輸分爲兩種情況。
第一種情況是“不改變”，也就是輸入信號中的各個頻率成分通過系統之後不發生變化（幅度不變，即相對大小關係不變；相位也不變，即位相對置關係不變），此時輸出信號的波形形狀不變，稱爲“無失真傳輸”。
無失真傳輸的條件：系統的幅頻特性|H(jw)|爲常數，相頻特性爲線性相位。如下圖。

第二種情況當然就是“改變”了，輸出信號的波形與輸入信號相比，形狀變了，也就是信號發生了“失真”，分爲“幅度失真”和“相位失真”。幅度失真是由於|H(jw)|不是常數而導致信號中各個頻率成分的相對大小關係改變而引起的失真，相位失真是由於系統不是線性相位使得信號中各個頻率成分的相對位置關係變化了而引起的失真。

三、濾波器

通過系統改變信號中各頻率分量的相對大小和相位，甚至完全去除某些頻率分量的過程稱爲濾波。
一般來說，要求大家會正確地寫出各種理想濾波器的頻率響應，並且會求解相應的單位衝激響應。


分析：
這三道題目，第一題輸入未限定時間範圍， -∞< t <+∞，也就是輸入從 -∞時刻作用於系統，而後面兩題，均限定輸入從0時刻作用於系統。第三題所求的響應爲穩態響應。
第一題，可以利用我們前面推導出來的結論

角頻率爲w0的正弦信號，通過系統後依然是角頻率爲w0的正弦信號，只是幅度和相位上會變化：幅度上乘以系統幅頻特性在w0處的取值，相位上增加一項——系統的相頻特性在w0處的取值）很容易得到計算結果，而第二題的輸入有u(t)，則不能用此公式。 計算可能比較複雜。那我們就從下面一個基本問題入手。
某因果的LTI系統的頻率響應爲



兩種方法的結論是相同的。顯然，複頻域的方法更加簡潔明瞭。
結論：

這個也很好理解，穩態響應是t→+∞時的響應，此時輸入裏面有沒有u(t)的限制已經沒有區別了。

數字信號處理中的採樣與信號重建

一、區別兩組名詞

首先，來聊一聊“連續時間信號”、“離散時間信號”和“模擬信號”、“數字信號”這兩種說法之間的區別和聯繫。前者，着眼點在於“時域（函數自變量）是否連續”，後者着眼點在於“函數取值是否連續”。通常，我們把自變量和函數取值都連續的稱爲模擬信號，而把自變量和函數取值都離散的稱爲數字信號。下圖展現了從模擬信號到數字信號的過程。藍色曲線爲模擬信號（當然，這也是一個連續時間信號）；等間隔抽樣後，得到藍色圓點，爲離散時間信號；在對它進行量化處理（圖中所示爲量化位數爲三位），得到紅色圓點，爲數字信號。

二、數字信號處理系統的模擬接口

下圖是一般的數字信號處理系統的結構框圖。中間的這部分“通用/專用計算機”來完成對數字信號的處理。它的前面（紅色框框），需要把模擬信號轉換成數字信號，它的後面（黃色框框），又需要把處理後的數字信號，轉換爲模擬信號。

首先來看前面，從模擬信號→數字信號。
由兩部分組成，第一部分是“抗混疊濾波器”，這是一個低通的模擬濾波器。它的功能是濾除模擬信號中高於抽樣頻率一半的頻率成分，爲了確保滿足採樣定理。
第二部分是“AD轉換器”，又分爲兩步來完成。第一步是“採樣保持”。下圖3是採樣保持電路的原理圖。輸入信號是經過抗混疊濾波器後的模擬信號，控制信號是窄脈衝，高電平時開關合上，輸出跟隨輸入的變化而改變，低電平時開關斷開，輸出保持斷開前一瞬間的值。這樣，我們就可以把這些值取出來，作爲模擬信號的離散樣值。這樣就實現了從模擬信號到離散時間信號的轉換。
然後，就是第二步“量化和編碼”，來實現從離散時間信號到數字信號的轉換實際應用中，用“ADC”（模數轉換器）封裝了紅色虛線框中的這兩部分。並且，大多數DSP芯片，內部也自帶了ADC來實現從模擬信號到數字信號的轉換。

然後，再來看後面，從數字信號→模擬信號，黃色虛線框裏的。同樣是兩部分。
第一部分，DA轉換，利用“零階保持內插”實現。在兩個離散樣值之間，保持前一個樣值的取值不變，直到下一個採樣時刻，跳變成下一個離散樣值。所以，經過零階保持內插後，得到的是這樣一些臺階狀的，（圖4中的y三角t）但已經是連續時間信號了。
但是這個連續時間信號顯然不令人滿意，因爲它太不光滑了，所以需要第二部分“平滑濾波器”來讓它變得光滑一點，“平滑濾波器”同樣是一個低通的模擬濾波器，濾除掉零階保持內插後的信號中的高頻的成分，使得陡峭的邊沿變得平滑。
上面所講的是數字信號處理系統中的與模擬世界的接口，這與我們信號與系統中所學的有何聯繫呢？看下圖5，這是信號與系統中簡化的理論模型。理想採樣器（例如衝激串抽樣）是實際的ADC的簡化版的理論模型，理想內插（也就是我們前面所說的用理想低通濾波器實現信號的重建）是DAC的簡化版的理論模型。換句話說，ADC（模數轉換器）是採樣量化的工程實現，DAC（數模轉換器）是內插（信號重建）的工程實現。

採樣信號和採樣序列的時頻域表示

時域表示，如圖。第一幅圖，模擬信號xa(t)，當然這也是一個連續時間信號；第二幅圖，理想衝激串採樣後的採樣信號xs(t)，注意，這裏變量依然是t，是連續時間；第三幅圖，採樣後得到的離散樣值，我們稱之爲採樣序列，也就是離散時間信號x(n)。從圖形上看，xs(t)的一串箭頭，變成了x(n)的一串火柴棒，從表達式上看，xs(t)很複雜，很難懂，很故弄玄虛，而x(n)很簡單，很實在。X(n)其實就是xs(t)這一串箭頭前面的係數xa(nT)的簡寫形式。注意，這裏自變量悄悄地發生了變化，不再是t，而是n。t是怎麼變成n的呢？n等於t除以T（採樣間隔），也就是說，n只是個序號，是無量綱的，而t是以秒爲單位的。所以說，離散時間變量n是連續時間變量t相對於採樣間隔T的歸一化。

如果說，這些都太簡單了，太自然而然了，那麼看下面的圖，頻域表示。

說明，這裏採用數字信號處理課程中的符號習慣，連續時間對應的頻域變量用大寫的Ω，離散時間對應的頻域變量用小寫的w）
第一幅圖，模擬信號的頻譜；第二幅圖，採樣信號xs(t)的頻譜（將模擬信號的頻譜進行週期延拓，延拓的週期爲2π/T）；第三幅圖，離散時間信號x(n)的頻譜。注意，橫軸也悄悄滴發生了變化，大寫的Ω（模擬角頻率）變成了小寫的w（數字域頻率），二者什麼關係呢？第二幅圖中的週期爲2π/T，而第三幅圖中，離散時間信號的傅里葉變換（DTFT）都是以2π爲週期的，也就是說，2π/T變成了2π，所以，模擬角頻率乘以採樣間隔T（也就是除以採樣頻率fs）得到數字域頻率。總結成這樣一句話，數字域頻率是模擬角頻率相對於採樣頻率的歸一化，它同樣是一個無量綱的東西。這些呢，是數字信號處理課程中的一個重要的知識點，也是學習DFT（離散傅里葉變換）的基礎。

經常出現在考題中的三種時域採樣模型（第一部分）

幾乎沒有哪一套考研題中會沒有采樣的內容。今天不解答具體的題目，我們來歸納總結一下。還是那句話，題目千差萬別、成千上萬，但理論就那些，萬變不離其宗，真正理解了掌握了，才能以不變應萬變。



對比一下圖4中的Xs(w)與圖2中的Xs(w)，都有tal/T的係數，都是X(w)的週期延拓。不同之處呢？本質的不同在於加權的係數，圖2是Sa函數在kws處的取值，而圖4是Sa函數。

總結一下平頂抽樣與曲頂抽樣的異同之處：

相同之處，都是對原來連續時間信號頻譜進行幅度加權的週期延拓。但：曲頂抽樣（彎的xs），延拓的每個週期，所乘的加權係數是Sa函數在該位置（kws）處的取值，也就是說，任意一個位置處的頻譜，與原連續信號的頻譜相比，只是差一個常數。
而平頂抽樣（直的xs），所乘的加權係數是Sa函數。也就是說，任意一個位置處的頻譜，與原連續信號的頻譜相比，發生了變形。
好了，三種抽樣模型分析完了。這三種情況下的得到的抽樣信號，如何才能重建原來的連續時間信號（也就是信號的恢復）呢？

拉普拉斯變換

一、拉氏變換的定義

不滿足絕對可積的信號（例如指數增長信號），不存在傅里葉變換。怎麼辦？將x(t)乘上指數型函數，再求傅里葉變換：

下圖f是傅里葉變換和拉氏變換的定義式：形式類似，本質不同，不同在於，變量w是實變量，而s是複數變量。這樣的一個改造，使得拉氏變換要收斂，對信號x(t)的要求，比傅里葉變換放寬了。

二、拉氏變換的收斂域

拉氏變換依然是一個無窮限的積分，所以也要考慮積分是否收斂，也就是拉氏變換是否存在。
使得拉氏變換X(s)存在（即x(t)e^dt的傅里葉變換存在）的s的範圍（即s的實部d的範圍），稱爲收斂域（Region Of Convergence），簡寫爲ROC。

圖4是三個信號（右邊的指數信號、左邊指數信號、雙邊指數信號）（他們代表了典型的三類信號）的拉氏變換及其收斂域的表示。可以總結出如下規律：
右邊信號的收斂域是右邊收斂；
左邊信號的收斂域是左邊收斂；
雙邊信號的收斂域是帶狀收斂。
注意到，前兩個信號的拉氏變換表示形式時相同的，都是1/s-a，但是收斂域截然不同，一個是收斂軸的右側，一個是收斂軸的左側。也就是說，拉氏變換，只有和收斂域捆綁在一塊兒，才能和x(t)一一對應。再一個需要注意的是，雙邊信號的拉氏變換要存在，條件比較苛刻，要求a<b。

收斂域的分析，增加了拉氏變換的複雜性，顯然這種複雜性是試圖既要處理因果信號，又要處理非因果信號而造成的。 如果我們僅僅研究因果信號的話，問題就簡化了。所以又有單邊拉氏變換，與前面的定義式相比，只是積分下限發生了改變，由負無窮改爲了0-，注意不是0，而是0-。這是爲了包含0時刻信號值有跳變或者衝激的情況。

拉氏變換與傅里葉變換相比，可研究信號的範圍擴大了。一些不滿足絕對可積條件的信號（比如指數增長信號等），傅里葉變換的積分式不收斂，而拉氏變換的積分式就可以在一定的範圍內（收斂域內）存在。當然，也有些信號的傅里葉變換存在，而拉氏變換不存在，比如直流信號x(t)=1、符號函數sgn(t)，它們雖然不滿足絕對可積，傅里葉變換的積分式不收斂，但傅里葉變換也存在；但是這兩個信號的拉氏變換不存在。但是這一類信號（傅里葉變換存在、拉氏變換不存在的）都是些特殊的信號，對於更爲常用的指數信號而言，拉氏變換的範圍比傅里葉變換擴大了，傅里葉變換隻能求解指數衰減信號，而拉氏變換指數衰減、指數增長都可以。
但是拉氏變換與傅里葉變換相比，也存在這麼一個問題：如果不指明收斂域、X(s)自己不能和時域信號一一對應，增加了問題的複雜度。
顯然這種複雜度的增加，是由於拉氏變換試圖既要處理因果信號、又要處理非因果信號而造成的。如果將研究對象限定爲因果信號，拉氏變換中的積分下限就可以改爲0，這就是單邊拉氏變換，而與之對應的，之前導出的積分限從負無窮到正無窮的，稱爲雙邊拉氏變換。可見，單邊拉氏變換的收斂域只有“右邊收斂”這一種情況。

其實呢，單邊拉氏變換隻能處理因果信號。因爲如果信號x(t)爲非因果信號，對它做單邊拉氏變換其實就丟掉了t<0的信息，也就是相當於求的是x(t)u(t)的拉氏變換。所以，單邊拉氏變換又記爲“x(t)u(t)的拉氏變換”。
還有一個問題，積分下限0，到底指0-還是0+？存在兩種理解，分別稱之爲“0-系統”和“0+系統”。一般來說，我們採用“0-”的這種定義，有兩個好處：一個是，如果t=0時刻存在衝激，0-的這種定義，拉氏變換就可以把衝激包含在內；第二個好處是，系統的初始狀態一般是指0-時刻的狀態，這樣，0-的這種單邊拉氏變換定義就與之一致了，應用在系統的複頻域分析中會非常方便。

三、常用信號的拉氏變換

下圖中的表格給出了一些常用信號的拉氏變換，並且最右邊一列給出了傅里葉變換，以方便大家進行對比學習。注意到這樣一個規律，分爲如下三種情況：
第一種情況：如果拉氏變換的收斂域包含虛軸，則拉氏變換和傅里葉變換都存在，並且將拉氏變換中的s替換成jw，即爲傅里葉變換。（可以這樣理解，此時信號本身就是收斂的，滿足絕對可積的，所以不需要對它進行衰減，所以s中的d可以取0。）
第二種情況：如果拉氏變換的收斂域不包含虛軸，並且也不以虛軸爲邊界，例如指數增長信號，這種情況下，傅里葉變換不存在。
第三種情況：如果拉氏變換的收斂域不包含虛軸，但是以虛軸爲邊界，例如表中的u(t)、sin(wt)u(t)等，拉氏變換和傅里葉變換都存在，但傅里葉變換中除了將拉氏變換的s換成jw的那一項之外，還另外包含衝激。這種情況下，信號的時域特徵表現爲不滿足絕對可積，但是也不是一直增長，而是一直爲常數（例如u(t)）、或者等幅度的震盪、或者按照低於指數階的增長（如tu(t)）。

四、單邊拉式變換的性質

拉氏變換的性質，本質上也是反映了時域與複頻域的對應關係。在學習和複習時注意和傅里葉變換的性質做對比，有類似的，有差異較大的。在這裏不再一一羅列。
特別注意的是“時域微分特性”，如下圖所示。這個性質在微分方程的求解中發揮重要作用。因爲它可以把系統的初始條件包含在其中，所以可以求解系統的全響應。

五、拉氏反變換

拉氏反變換的求解方法，分爲三種：

• 第一種，直接利用反變換的定義式求解。顯然，這是一個複變函數的積分，可以利用留數定理來求解。
• 第二種，利用常用的拉氏變換對和拉氏變換性質求解。
• 第三種，當X(s)爲有理分式時（這也是我們在分析LTI系統時經常遇到的情況），利用部分分式展開法。

拉普拉斯變換——單邊、雙邊

1、性質上的不同

單邊拉氏變換與雙邊拉氏變換在下列各項性質中，都有或多或少、或明顯或隱蔽的不同。

2、應用上的不同

單邊拉氏變換，可以用於求解描述微分方程的全響應，但前提是系統爲因果系統。這方面的例題教材上都有，這裏不再贅述。下面看這樣一道題目，即可以用單邊拉氏變換求解，也可以用雙邊拉氏變換求解。求解結果相同、過程不一樣，非常直觀地體現了單邊、雙邊拉氏變換的不同。

連續時間系統的複頻域分析

一、利用單邊拉氏變換求解LTI系統的響應

1、微分方程的求解

描述連續時間LTI的是常係數的線性微分方程，也就是，由y(t)以及y(t)的各階導數和x(t)以及x(t)的各階導數，乘上相應的係數（常數），加加減減組合成的等式。這個時候，拉氏變換的時域微分特性就大有用武之地了。
方程兩邊取單邊LT，利用LT微分性質，就將時域的微分方程，轉變成了s域的代數方程（由X(s)、Y(s)以及系統的初始狀態y(0-)、y’(0-)…組成），這樣，做一個簡單的代數運算，就可以求出Y(s)，再求反變換就得到y(t)，這個y(t)是全響應。

如果要分別求解零輸入響應和零狀態響應，也很容易。要在求解過程中就分開，看下題，把X(s)放在一堆，初始狀態y(0-)、y’(0-)…等等放在一堆，那前者就是零狀態響應的拉氏變換，後者就是零輸入響應的拉氏變換。

2、電路系統的求解

當然可以先列出電路系統的微分方程，然後利用s域求解方法求解之。但更簡便的方法是，利用電阻、電容、電感的複頻域等效模型替換，將電路轉換爲複頻域的等效電路，直接列出代數方程。
下圖4是電阻、電容和電感的時域及複頻域的等效模型。

這樣，將電路系統轉換成s域的等效模型之後，利用KVL或KCL列出方程（這個就是代數方程了），求出Y(s)，再求拉氏反變換即可得出y(t)。

二、利用系統函數分析系統特性

1、系統函數

系統函數H(s)是誰？
H(s)與h(t)的關係：是單位衝激響應h(t)的拉氏變換；
H(s)與輸入/輸出的關係：是Y(s)/X(s)；
H(s)與H(jw)的關係：H(jw)=H(s)|s=jw
H(s)與微分方程的關係：
H(s)與極零點圖的關係：
H(s)與系統框圖、流圖的關係：

2、穩定性分析

定義：輸入有限，則輸出一定有限（BIBO）
從時域上看：h(t)滿足絕對可積
從複頻域上看：
收斂域：包含虛軸
極點位置：對於因果系統，所有極點均位於左半平面
勞斯——霍爾維茨準則（但是需要注意，只適用於判斷連續時間因果系統的穩定性，而且必須計算到n+2行纔有意義）

若系統爲高階系統，極點不容易求解出來，這是，就可以採用勞斯——霍爾維茨穩定性判據。
這部分內容實際上是屬於自動控制課程的內容，但有些學校的信號與系統中也要求掌握。其實說實話，在計算機技術如此方便的今天，求解高階方程的特徵根也易如反掌。我個人認爲沒有必要再要求學生去死記硬背這種穩定性判據繁瑣的準則。所以，我在網易雲課堂上線的“信號與系統”課程中沒有講解這部分內容。但是，不排除有些學校依然把它作爲考試內容，所以這裏對它進行講解，作爲補充。同學們可以根據自己學校的要求進行取捨。具體內容聽下面的講解。

勞斯-霍爾維茨穩定性判據

3、系統函數極零點對濾波器特性的影響

系統的幅頻特性=各零點矢量長度之積/各極點矢量長度之積
系統的相頻特性=各零點矢量相角之和 - 各極點矢量相角之和

極點對幅頻特性的影響——極點增強增益。
極點對頻率選擇性的影響是：使得w0處的增益增強。
隨着極點愈靠近虛軸（a減小），增強效果愈明顯。如果是高階極點，增強效果也愈明顯。
共軛極點的存在並不會顯著改變w0附近的頻率選擇特性。

零點對幅頻特性的影響——零點抵消增益。
零點對頻率選擇性的影響是：使得w0處的增益減小。
隨着零點愈靠近虛軸（a減小），減弱的效果愈明顯。當零點在虛軸上時，使w0處增益爲零。

三、系統框圖與實現

梅森公式是橋樑，可以很方便地在系統函數和流圖或框圖之間轉換。在自動控制、數字信號處理等課程中也有應用。因爲內容比較簡單，這裏不再贅述。

拉普拉斯的其人其事

拉普拉斯，也是法國人，而且是一位侯爵。法國數學家、天文學家，法國科學院院士。是天體力學的主要奠基人、天體演化學的創立者之一，他還是分析概率論的創始人，因此可以說他是應用數學的先驅。

1749年3月23日生，1827年3月5日卒，活了近78歲，在那個人均壽命不到40歲的年代算是高壽了。

他的經歷很豐富。據說，拉普拉斯的父親是一位農場主，但他家境貧寒，靠鄰居的賙濟纔得到讀書的機會。16歲時進入開恩大學，並在學習期間寫了十篇關於有限差分的論文。學業完成之際，他帶着一封推薦信去巴黎找當時法國著名學者達朗貝爾，但被後者拒絕接見。拉普拉斯就寄去一篇力學方面的論文給達朗貝爾。這篇論文出色至極，以至達朗貝爾忽然高興得要當他的教父，並使拉普拉斯被推薦到軍事學校教書。 拉普拉斯事業上的輝煌時期便從此開始。1773年，年僅24歲的拉普拉斯被選爲法國科學院副院士；1783年任軍事考試委員，並於1785年主持對一個16歲的惟一考生進行考試，這個考生就是後來成爲皇帝的拿破崙(Nopo1eon)；所以，後人稱他曾任拿破崙的老師，並且後來被拿破崙任命爲內政部長，元老議員並加封伯爵。拿破崙下臺後，路易十八(LouisXVIII)重登王位，拉普拉斯又被晉升爲侯爵。

拉普拉斯才華橫溢，著作如林，在青年時代就發表了一系列的論著。24歲當選爲法國科學院副院士，科學院在一份報告中曾這樣評價他:還沒有任何一位像拉普拉斯這樣年輕的科學家能在如此衆多如此困難的課題上，寫出如此大量的論文。
拉普拉斯的研究領域是多方面的，有天體力學、概率論、微分方程、複變函數、勢函數理論、代數、測地學、毛細現象理論等，並有卓越的創見。他的代表作有：《宇宙體系論》、《分析概率論》《天體力學》。

《宇宙體系論》(1796年)是一本解釋宇宙的、文字通俗的科普讀物。他所提出的太陽系生成的星雲假設說就收集在此書的附錄裏。這一假說1755年康德(Kant)雖已述及，但康德主要是從哲學的角度加以考慮的，而拉普拉斯則是從數學、力學的角度進行推導的，這不但充實了星雲假說的內容，而且作出了詳細的科學論證。因此，人們常把這一假說稱爲“康德-拉普拉斯星雲假說。”

《分析概率論》(1812年)彙集了40年以來概率論方面的進展以及拉普拉斯自已在這方面的發現，對概率論的基本理論作了系統的整理，他在該書的引言中寫道：“歸根到底，概率論只不過是把常識化成計算而已。”這本書包含了幾何概率、伯努利定理和最小二乘法原理等。著名的拉普拉斯變換就是在此書中述及的。1814年他還出版了《概率的哲學探討況》，他被公認爲是概率論的奠基人之一。

《天體力學》共有五卷，可以說是一部鉅著，把牛頓、達朗貝爾、歐拉、拉格朗日諸位大家的天文研究推向了高峯。用拉普拉斯自已的話來說，寫這部書的目的在於對太陽系引起的力學問題提供一個完全的解答。它吸取了前人的大量成果，給予天體運動以嚴格的數學的描述，對位勢理論同樣作站了數學刻畫。這對後來物理學、引力論、流體力學、電磁學以及原子物理等，都產生了極爲深遠的影響。這部鉅著使他贏得了“法國的牛頓”的美稱。

但是，在拉普拉斯的著作中，他常常完全不提前人和同時代人的論述與功績，給人的印象是其著作中的思想似乎完全出自於他本人。例如，他在《天體力學》中不聲不響地從拉格朗日那裏取用了位勢概念，並把這一概念用得十分廠泛，以致從他那時起，勢論中的基本微分方程被人稱作拉普拉斯方程。他在《分析概率論》中，引用別人的成果也不提及別人的名字，而是把它們同自己的成果混在一起。他的這些品格遭到了後人的非議。

同時，他在政治上是個小人物、牆頭草，徹頭徹尾的機會主義者。在法國大革命時期，隨着政局的動盪、改朝換代，他也隨波逐流，反覆不斷地扮演了共和派與保皇派的雙重角色。而且他有一種天賦的本事，能夠機靈地使敵對的雙方在不論哪一方上臺掌權時，都相信他是自己的一個忠誠的支持者，因此每次改宗後他都能獲得更好的差使和更大的頭銜。爲此有人把他比做英國文學作品中的假聖人佈雷牧師。拿破崙在流放期間說過：“拉普拉斯是第一流的數學家，但事實很快表明他不過是一個平庸的行政官員，……他把無窮小精神帶進了政府之中。”

拉普拉斯雖有上述缺點，但作爲一個科學家，在席捲法國的政治變動中，包括拿破崙的興起和衰落，都並末顯著地影響他對科學的研究。另外他也能慷慨幫助和鼓勵年輕的一代。例如，化學家蓋·呂薩克(Gay Lussac)、旅行家和自然研究者洪堡爾曉(Hum-boldt)、數學家泊松(Poisson)、柯西都曾得到過他的幫助和鼓勵。他學識淵博，但學而不厭。他的遺言是：“我們知道的是微小的，我們不知道的是無限的。”

離散時間信號與系統的頻域分析（一）

前面已經總結了連續時間信號與系統的時域分析、頻域分析和複頻域分析。離散時間信號與系統，只總結了時域分析。這一次課，我們來給大家總結離散時間信號與系統的頻域分析。這部分內容，是與“數字信號處理”課程銜接最爲緊密的一部分內容，有些學校的“信號與系統”課程中不包含這部分內容，而是把它放入“數字信號處理”課程中，但有些學校包含，並且也把它作爲考試要求的內容之一。

按照研究對象“信號”、“系統”，同樣可以分爲兩部分：一是離散時間信號的頻域分析；二是離散時間系統的頻域分析。

一、離散時間信號的頻域分析

分爲三部分內容：離散時間傅里葉級數、離散時間傅里葉變換、幾種傅里葉變換的總結。
注意與連續時間信號的頻域分析進行對照。借鑑連續時間信號頻域分析的研究思路，同時注意它們的不同之處。

1、離散時間傅里葉級數DTFS/DFS

與連續時間週期信號的傅里葉級數研究思路是完全相同的。現在我們的研究對象是離散時間的週期信號x(n)，週期爲N，把週期的倒數再乘以2π，也就是2π/N稱爲基頻，記爲Ω0。首先要找一組正交信號集，在這組正交信號集上把它進行正交展開，然後求解係數ak。

第一個問題：這組正交信號集是什麼？同樣是角頻率爲基頻的整數倍的虛指數函數（離散時間的虛指數函數）

這樣，我們就可以輕輕鬆鬆地寫出離散時間傅里葉級數的展開式形式，如下圖3

有兩種形式，一種是沒有係數1/N，另外一種是有係數1/N。前一種（沒有係數1/N的），更側重於在信號與系統課程中採用，因爲和連續時間週期信號的傅里葉級數一致；而後一種（有係數1/N的），更側重於在數字信號處理課程中採用。顯然，ak等於Xk乘以1/N。
這個公式寫的比較花俏，是爲了讓大家分清k和n，兩個都是離散變量（序號），k是頻域的變量，n是時域的變量。 下面的問題，就是這個係數如何求解了。圖4給出了係數求解公式的推導（以X(k)~的寫法爲例），我這裏不詳細講。


圖就是DFS正反變換的公式，反變換就是級數展開式，正變換就是係數求解公式。同樣，是兩種寫法，ak的寫法和X(k)~的寫法。其實無非就是把係數1/N放在正變換中還是反變換中而已。
公式得到了，就可以順理成章地引出離散時間週期信號頻譜的概念了：
離散時間傅里葉級數的係數（ak或者X(k)-），就是離散時間週期信號的頻譜，它反映了這個週期信號的頻率成分的組成情況，一般是個複數，模稱爲幅度譜，相角稱爲相位譜。圖6中是以X(k)~這種形式給出的。

與連續時間週期信號的頻譜一樣，離散時間週期信號的頻譜也具有“離散性”和“諧波性”兩個特點，但不同之處是，它還具有“週期性”的特點。是以N爲週期的。

與連續時間週期信號的傅里葉級數的題目類似，離散時間週期信號傅里葉級數的題目的求解方法，也可以分爲兩類：
第一種，當信號直接寫成幾個正餘弦函數之和的形式時，直接與FS展開式的標準形式對比，得出FS係數；

第二種，否則，則需要利用係數求解公式進行運算。例如週期矩形脈衝信號的FS。

2、離散時間傅里葉變換DTFT

（Discrete-Time Fourier Transform（DTFT）
總結爲四個內容：定義、物理含義、變換對、性質
DTFT的定義：
這部分內容的學習，有兩種講解思路。第一種是，先學習完z變換，然後按照“單位圓上的z變換就是離散時間傅里葉變換”這種思路導出DTFT。第二種是，與連續時間信號的頻域分析思路一致，先利用正交分解的思想，給出DFS，然後令週期N趨於無窮大，導出DTFT。
圖9給出了DTFT正反變換的公式。需要解釋一下的是，X(e^{jΩ)這種寫法，幹嘛不寫成X(jΩ)呢？當然可以，但是寫成X(e}jΩ)，更爲大家所廣泛接受，就是因爲DTFT就是單位圓上的z變換！
另外，特別提醒大家，DTFT中的第二個T萬萬不可省略！

物理意義：
物理含義就不必說了， x(n)可以表示成復指數信號的線性組合；X(e^jΩ)表示了x(n)中各個頻率分量的相對大小及位置，稱爲x(n)的頻譜。
常見信號的DTFT：
給出四個典型例題

與連續時間的傅里葉變換做對比：

連續時間的矩形脈衝 對應頻域：sinc函數的頻譜
離散時間的矩形脈衝 對應頻域：週期的sinc函數
連續時間的sinc函數 對應頻域：矩形函數的頻譜
離散時間的sinc函數 對應頻域：週期矩形函數的頻譜

DTFT的性質：

和連續時間傅里葉變換的性質相比，要求更簡單。提醒大家注意頻域卷積特性，時域相乘，頻域卷積，但因爲DTFT是週期的，所以這個卷積是“週期卷積”（卷積的積分區間是0~2π，而不是負無窮到正無窮）。

離散時間信號與系統的頻域分析（二）

一、離散時間信號的頻域分析

分爲三部分內容：離散時間傅里葉級數、離散時間傅里葉變換、幾種傅里葉變換的總結。前面一篇文章已經總結了前兩個內容。這一篇文章繼續第三個問題


總之一句話，一個域的離散性，對應另外一個域的週期性。
DFS是滿足時域、頻域都是離散性這一特點，適合於計算機處理。將DFS在時域、頻域都各取一個週期，就是數字信號處理中的“離散傅里葉變換DFT”，在實際的信號處理中應用廣泛。注意，DFT與DTFT只有一個T的差別，但二者有天壤之別。

二、離散時間系統的頻域分析

“信號與系統”課程中，對這部分內容要求不高。因爲真正的離散時間系統（也就是數字濾波器）的學習在“數字信號處理”課程中。

1、離散時間系統的頻率響應

H(e^jΩ)稱爲離散時間系統的頻率響應，它是單位樣值響應h(n)的DTFT，它等於輸出的DTFT除以輸入的DTFT。

注意，它是以2π爲週期的週期函數。

2、離散時間系統響應的頻域求解

這部分內容要求比較簡單，零狀態響應的DTFT=輸入信號的DTFT乘以系統的頻率響應。所以可以用頻域的方法求解離散時間系統的輸出。

3、離散時間系統的濾波特性

下圖給出了幾種理想濾波器的幅頻特性圖。注意，H(e^jΩ)是以2π爲週期的，所以，圖看上去都比較複雜，好像是有多個通帶，實際上，只需要看[-π,π]這一個週期的區間就可以了。而且實系統的傅里葉變換又滿足“共軛對稱”的特點，也就是幅度譜爲偶函數，所以[-π,0]和[0,π]一定是一樣的，所以，對於離散時間系統的頻譜，只要看[0,π]這個區間就可以了。在數字信號處理等課程和實際應用中，一般都只畫出[0,π]這個區間的曲線。

2017.11.29

系統線性、時不變性的判定——“信號與系統”重點難點解析之一

在“信號與系統”的“概述”部分，系統的線性、時不變性的判斷是一個大家在“系統分類”這部分要掌握的一個重點內容。
要點：

1. 線性和時不變性之間沒有必然的約束關係，也就是說，一個線性系統可能是時不變的，也可能是時變的；同樣，一個時不變系統，可能是線性的，也可能是非線性的。
2. 線性、時不變性講的都是系統的特性，系統的特性體現在輸出y和輸入x的關係上，而不是y與t的關係上。
3. 定義是判定的不二法則。
4. 在做了一些題目的基礎上，可以總結出一些規律性的東西來。

一、時不變性的判定

定義：如果系統的輸入信號在時間上有一個平移，系統的響應也產生同樣的一個時間上的平移。即：輸出與輸入的關係不隨輸入作用於系統的時間起點而變化。
如果 x(t) →y(t)，那麼： x(t-t0) →y1(t) = y(t-t0)
需要注意，不是對某個特定的t0滿足，而是所有t0都滿足。




總結：時不變特性的判定，根據題目的類型，可以有兩種方法：
第一種，從時不變性的定義式出發，按照以下步驟：
1.首先，根據x(t)產生的輸出y(t)的表達式，將y(t)中的t換做t-t0，得到y(t-t0)的表達式；
2.然後，求出x(t-t0)產生的輸出的表達式y1(t)（注意，這一步與上一步的變量替換絕對不同，很多同學在這一步上犯錯）；
3.最後，判斷y1(t)與y(t-t0)是否相等。
第二種，從描述系統的方程來判，參數不隨時間變化，則該系統爲時不變方程。
（其實，這一種情況，也可以從定義式出發來判斷，詳細過程見上面的題目（6）、(7)，只不過找出規律來之後就不需要從定義式出發判斷了）。
另外，需要注意，分析系統的時不變性時，只需要看零狀態響應。

二、系統線性/非線性的判定

數學上關於“線性”的定義包含兩個含義：齊次性（又稱均勻性）和可加性（又稱疊加性）。但需要注意的是，數學上線性的定義，不能直接適用於初始狀態不爲零的系統是否爲線性系統的判定。因此，適用於“信號與系統”的判斷系統是否爲線性的定義，包含以下三重含義：

總結：判斷系統線性，根據題目類型，也有兩種方法：
**第一種，根據線性系統響應的三個判斷準則：**分解性（當然如果系統本身是零狀態的，可以略過這一步）、零狀態線性（零狀態響應yzs與輸入x之間是否滿足齊次性及可加性）、零輸入線性（零狀態響應yzi與初始狀態之間是否滿足齊次性及可加性）。
第二種，如果是以微分/差分方程描述的系統，若方程不是線性微分/差分方程，則爲非線性系統。
{這時也可以按照如上的三個步驟來判斷，當然，如果方程中不出現初始狀態，可以直接判斷y和x之間是否滿足齊次性、可加性即可。見上面的題目(2)、(3)。}

如何從“0-狀態”推導出“0+狀態”呢？採用所謂的“衝激函數匹配法”也稱爲“衝激平衡法”，原理就是微分方程兩端的δ(t)及其各階導數應該對應項相等。
吳大正《信號與線性系統 第4版》中詳細地說明了這種方法，並給出了微分方程的求解示例，偏重於數學推導。鄭君裏《信號與系統 第三版》中也有這種方法的應用（2.4節），但他是用電路系統爲例來講解的，更側重於物理含義，而且值得注意的一個現象是，鄭書第二版中，明確地給出了“衝激函數匹配法”的原理及示例，而第三版中做了改動，僅給出了電路系統的例子，而刪除了微分方程的例子，並且在2.4節的最後給出了δ函數平衡原理的參考書目，然後說

可見，從y(0-)推導y(0+)是個坑，很多人會掉進這個坑裏。而利用後面要學習的拉氏變換的方法，可以直接用0-狀態求解，完美地繞過這個坑。連鄭教授也這樣認爲。
有同學說“老師，你說時域解微分方程不重要，考試會不會考呢？”我只能說，如果我出題，我不會考。但是…（你懂的），所以，老老實實講例題：

數字信號處理系列

（預備篇）——信號與系統已學知識點複習

地球人都知道，要學習數字信號處理，必須先學信號與系統。沒有信號與系統中概念的鋪墊，不可能真正理解數字信號處理。關於“信號與系統”和“數字信號處理”這兩門課程的關係，本號上個月推出過一文，在此不再囉嗦，可參考文末的鏈接。

爲了幫助同學們儘快撿起“信號與系統”中學習過的、同時學習“數字信號處理”又要用到的重要知識點，首先我們把這些內容做一個梳理，以便爲後續“數字信號處理”的學習掃清障礙。

在開始複習之前，首先需要給大家說明關於角頻率變量的大小寫，

（一）傅里葉級數與傅里葉變換

特別提一下，卷積，很重要。可以說，卷積，絕不僅僅是個數學運算，它道出了系統時域分析的實質，怎麼強調它都不爲過。如果你能用matlab或者c語言或者你熟悉的任何一門語言，編個程序，實現兩個序列的卷積運算，對理解它會有幫助。

（三）拉氏變換與z變換

複習重點：
（1）拉氏變換與傅里葉變換的關係

前提：拉氏變換的收斂域包含虛軸，此時虛軸上的拉氏變換就是傅里葉變換，即：