D - Unique Path

D - Unique Path

题意

已知有一个图有n个点m条边

已知q条线索，以u,v,x的格式给出

若$x==0$，表示u,v之间仅存在一条路径

否则，表示u,v之间存在多条路经

问，该图是否存在

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思路

考虑计算出若该图存在，所需的最少边数和最多边数

• 可以先将所有0线索连起来（并查集）

• 显然，我们得到多个连通块，且每一个都是树

• 而树和树之间是可以相连的，但只可以连一条线（因为他们之间没有0关系）

• 考虑1线索，他需要将孤立点和连通块串在一个环上

• 最少的情况：从连通块和孤立点组成环，且至少有三个点（整个图要连通）

• 最多的情况：将连通块和孤立点，全部构成完全图

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代码

typedef pair<int, int> pii;
const int maxn = 1e5 + 5;
vector<pii> opt[2];
int f[maxn]; //链的并查集
bool vis[maxn];
int find(int x)
{
    return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]);
}
set<int> Set;
int main()
{
    long long nn, mm;
    scanf("%lld%lld", &nn, &mm);
    int q;
    scanf("%d", &q);
    int u, v, x;
    for (int i = 1; i <= q; i++) {
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &x);
        opt[x].push_back(make_pair(u, v));
    }
    if (nn == 2) {
        if (opt[0].size() == 1 && q == 1)
            printf("Yes\n");
        else
            printf("No\n");
        return 0;
    }
    for (int i = 0; i < nn; i++)
        f[i] = i;
    for (auto it : opt[0]) {
        vis[it.first] = vis[it.second] = true;
        f[find(it.first)] = find(it.second);
    }
    long long sum = 0, num = 0;
    for (int i = 0; i < nn; i++)
        if (vis[i]) {
            sum++;
            if (find(i) == i)
                num++;
        }
    for (auto it : opt[1]) {
        if (vis[it.first] && vis[it.second]) {
            if (find(it.first) == find(it.second)) {
                printf("No\n");
                return 0;
            }
        }
    }
    long long lone = nn - sum;
    long long m1 = 0, m2 = 0;
    if (opt[1].size() == 0) {
        m1 = sum - num;
        m2 = sum - num + (lone + num) * (lone + num - 1) / 2;
    } else {
        m1 = sum - num + max(3LL, num + lone);
        m2 = (num + lone) * (num + lone - 1) / 2 + sum - num;
    }
    if (mm >= m1 && mm <= m2) {
        printf("Yes\n");
    } else
        printf("No\n");
    return 0;
}