斐波那契數列與組合數的基本數理關係（王傑林）

本次給出這個定理，主要是爲了完善“傑林碼”的部分數理原理。

斐波那契數列的定義：
斐波那契數列是滿足遞推關係式：
$\left\{ \begin{matrix} F_{1} = F_{2} = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2},n = 3,4,5,\ldots \\ \end{matrix} \right.\$

的數列$\{ F_{n}\}$。

定理1：$F_{n} = \sum_{m}^{}C_{n - m - 1}^{m}(m = 0,1,2,\ldots;2m \leq n -1)$

證明：將$F_{n} = \sum_{m}^{}C_{n - m - 1}^{m}$，$F_{n + 1} = \sum_{m}^{}C_{n - m}^{m}$，$F_{n + 2} = \sum_{m}^{}C_{n - m + 1}^{m}$展開可得：

$F_{n} = \sum_{m}^{}C_{n - m - 1}^{m} = C_{n - 1}^{0} + C_{n - 2}^{1} + C_{n - 3}^{2} + \ldots + C_{n/2}^{n/2 - 1}$

$F_{n + 1} = \sum_{m}^{}C_{n - m}^{m} = C_{n}^{0} + C_{n - 1}^{1} + C_{n - 2}^{2} + \ldots + C_{n/2}^{n/2}$

$F_{n + 2} = \sum_{m}^{}C_{n - m + 1}^{m} = C_{n + 1}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n - 1}^{2} + \ldots + C_{n/2 + 1}^{n/2}$

因爲$C_{n - 1}^{m} = C_{n - 2}^{m - 1} + C_{n - 2}^{m}$，且$C_{n}^{0} = C_{n+ 1}^{0} = 1$，所以

$C_{n - 1}^{0} + C_{n - 1}^{1} = C_{n}^{1}$

$C_{n - 2}^{1} + C_{n - 2}^{2} = C_{n - 1}^{2}$

$C_{n - 3}^{2} + C_{n - 3}^{3} = C_{n - 2}^{3}$

$\ldots$

$C_{n/2}^{n/2 - 1} + C_{n/2}^{n/2} = C_{n/2 + 1}^{n/2}$

即$F_{n + 1} + F_{n} = C_{n + 1}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n - 1}^{2} + C_{n -2}^{3} + \ldots + C_{n/2 + 1}^{n/2} = F_{n + 2}$，且$F\left( 1 \right) =C_{0}^{0} = 1$，$F\left( 2 \right) = C_{2}^{0} = 1$。所以$F\left( n \right)= \sum_{m}^{}C_{n - m - 1}^{m}$滿足斐波那契的定義。
同理可以給出基於組合數的定理：

定理2：$\sum_{m}^{}C_{n - m + 1}^{m} = \sum_{m}^{}C_{n - m}^{m} +\sum_{m}^{}C_{n - m - 1}^{m}$
證明：略

定理1在“傑林碼”信道檢錯糾錯算法中的應用：

設二進制序列$X$長度爲$n$，其中符號1的個數爲$m$。因連續$n - m$個符號0有$n - m + 1$個間隔，所以將$m$個符號1插入間隔位置的組合數爲$C_{n- m + 1}^{m}$，於是存在$C_{n - m +1}^{m}$個序列$X$滿足“序列中連續符號1的個數最多爲$1$”，則總的序列數有：

	$E_{n} = \sum_{m}^{}C_{n - m + 1}^{m}$	(1)

當$n \geq 1$時，$E_{n} = F_{n +2}$。由於序列$X$滿足“序列中連續符號1的個數最多爲$1$”，當序列$X$通過信道傳輸，$Y$爲接收到的二進制序列，若$Y$中任意位置出現了“11”，則說明數據傳輸發生了錯誤。同時，這類序列利用我的加權概率模型實現很好的無損壓縮。