斐波那契数列与组合数的基本数理关系（王杰林）

本次给出这个定理，主要是为了完善“杰林码”的部分数理原理。

斐波那契数列的定义：
斐波那契数列是满足递推关系式：
$\left\{ \begin{matrix} F_{1} = F_{2} = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2},n = 3,4,5,\ldots \\ \end{matrix} \right.\$

的数列$\{ F_{n}\}$。

定理1：$F_{n} = \sum_{m}^{}C_{n - m - 1}^{m}(m = 0,1,2,\ldots;2m \leq n -1)$

证明：将$F_{n} = \sum_{m}^{}C_{n - m - 1}^{m}$，$F_{n + 1} = \sum_{m}^{}C_{n - m}^{m}$，$F_{n + 2} = \sum_{m}^{}C_{n - m + 1}^{m}$展开可得：

$F_{n} = \sum_{m}^{}C_{n - m - 1}^{m} = C_{n - 1}^{0} + C_{n - 2}^{1} + C_{n - 3}^{2} + \ldots + C_{n/2}^{n/2 - 1}$

$F_{n + 1} = \sum_{m}^{}C_{n - m}^{m} = C_{n}^{0} + C_{n - 1}^{1} + C_{n - 2}^{2} + \ldots + C_{n/2}^{n/2}$

$F_{n + 2} = \sum_{m}^{}C_{n - m + 1}^{m} = C_{n + 1}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n - 1}^{2} + \ldots + C_{n/2 + 1}^{n/2}$

因为$C_{n - 1}^{m} = C_{n - 2}^{m - 1} + C_{n - 2}^{m}$，且$C_{n}^{0} = C_{n+ 1}^{0} = 1$，所以

$C_{n - 1}^{0} + C_{n - 1}^{1} = C_{n}^{1}$

$C_{n - 2}^{1} + C_{n - 2}^{2} = C_{n - 1}^{2}$

$C_{n - 3}^{2} + C_{n - 3}^{3} = C_{n - 2}^{3}$

$\ldots$

$C_{n/2}^{n/2 - 1} + C_{n/2}^{n/2} = C_{n/2 + 1}^{n/2}$

即$F_{n + 1} + F_{n} = C_{n + 1}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n - 1}^{2} + C_{n -2}^{3} + \ldots + C_{n/2 + 1}^{n/2} = F_{n + 2}$，且$F\left( 1 \right) =C_{0}^{0} = 1$，$F\left( 2 \right) = C_{2}^{0} = 1$。所以$F\left( n \right)= \sum_{m}^{}C_{n - m - 1}^{m}$满足斐波那契的定义。
同理可以给出基于组合数的定理：

定理2：$\sum_{m}^{}C_{n - m + 1}^{m} = \sum_{m}^{}C_{n - m}^{m} +\sum_{m}^{}C_{n - m - 1}^{m}$
证明：略

定理1在“杰林码”信道检错纠错算法中的应用：

设二进制序列$X$长度为$n$，其中符号1的个数为$m$。因连续$n - m$个符号0有$n - m + 1$个间隔，所以将$m$个符号1插入间隔位置的组合数为$C_{n- m + 1}^{m}$，于是存在$C_{n - m +1}^{m}$个序列$X$满足“序列中连续符号1的个数最多为$1$”，则总的序列数有：

	$E_{n} = \sum_{m}^{}C_{n - m + 1}^{m}$	(1)

当$n \geq 1$时，$E_{n} = F_{n +2}$。由于序列$X$满足“序列中连续符号1的个数最多为$1$”，当序列$X$通过信道传输，$Y$为接收到的二进制序列，若$Y$中任意位置出现了“11”，则说明数据传输发生了错误。同时，这类序列利用我的加权概率模型实现很好的无损压缩。