移動機器人的運動學模型:車式移動機器人

車式移動機器人運動學模型

問題

車式移動機器人更具有普遍意義。

參數

• $v$：機器人自身線速度
• $\omega$：前輪轉向角速度
• $\textbf{u}$：輸入，包括$v$，$\omega$
• $\dot{\textbf{q}}$：機器人在環境中的位姿描述
• $\theta$：機器人縱向軸與x軸之間的夾腳
• $\phi$：前輪轉角
• $L$：車身長度

推導1

當知道機器人自身前進速度和前輪轉角角速度時，求機器人在環境中的位姿。

$\dot{\textbf{q}}$= $f(\textbf{u})$

定義機器人在環境中位姿：
$\textbf{q}=\left [ \begin{aligned} x \\ y \\ \theta \\ \phi \end{aligned} \right]$
機器人輸入，包括自身線速度和前輪轉角角速度：
$\textbf{u}=\left [ \begin{aligned} v \\ \omega \\ \end{aligned} \right]$
而
$\begin{aligned} \dot{x} &= \cos(\theta) v \\ \dot{y} &= \sin(\theta) v\\ \dot{\phi} &= \omega \end{aligned}$
對與計算角速度可以參照下圖(其他地方扣過來的，注意符號使用不太一樣)

就有了$\dot{\theta} = \frac{\tan\phi}{L} v$
那麼，
$\dot{\textbf{q}}= \begin{aligned} \begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & 0 \\ \frac{\tan\phi}{L} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \textbf{u}$
更詳細的，即：
$\left [ \begin{aligned} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\phi} \end{aligned} \right]= \begin{aligned} \begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & 0 \\ \frac{\tan\phi}{L} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \left [ \begin{aligned} v \\ \omega \\ \end{aligned} \right]$

推導2

另一種情況是，知道機器人的前輪轉角角度（即方向盤角度）和加速度（即油門），想要求機器人的狀態。

• $v$：機器人自身線速度（前進速度）
• $\theta$：機器人縱向軸與x軸之間的夾腳
• $\textbf{u}$：輸入，包括$v$，$\theta$
• $\dot{\textbf{q}}$：機器人在環境中的位姿描述
• $\phi$：前輪轉角
• $L$：車身長度
  機器人的狀態
  $\textbf{q}=\left [ \begin{aligned} x \\ y \\ \theta \\ v \end{aligned} \right]^T$
  機器人輸入，包括(油門)加速度和(方向盤)前輪轉角：
  $\textbf{u}=\left [ \begin{aligned} a \\ \phi \\ \end{aligned} \right]$
  那麼，
  $\begin{aligned} \dot{x} &= v * \cos (\theta)\\ \dot{y} &= v * \sin (\theta)\\ \dot{\theta} &= v * \tan(\phi) / L \\ \dot{v} &= a \end{aligned}$
  更進一步單步更新可以表示爲：
  $\begin{aligned} x_{t+1} &= x_{t} + v * \cos (\theta) * dt\\ y_{t+1} &= y_{t} + v * \sin (\theta)* dt\\ \theta_{t+1} &= \theta_{t} + v * \tan(\phi) / L*dt\\ v_{t+1} &= v_{t} + a * dt \end{aligned}$

Reference

• https://blog.csdn.net/qq_40870689/article/details/87971282
• http://www.cs.cmu.edu/~rasc/Download/AMRobots3.pdf
• Autonomous Robots Modeling, Path Planning, and Control