[計算機視覺中的多視幾何](2.2.2)2D射影幾何中的無窮遠點和無窮遠直線.

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我們這裏的講解都是在2D平面上面的

Intersection ofparallel lines.

對於齊次座標下的平行直線來說, 也可以求得其交點.

$\mathbf{l} = (a,b,c)^T$ $\mathbf{l^{'}}=(a,b,c^{'})^T$

按照前面的交點計算方法可得.$\mathbf{x}=(b,-a, 0)^T$.
這是一個點的齊次表示方法.
如果編程$\mathbb{R}^2$中的點.可做除法$(b/0, -a/0)^T$,
這就是無窮遠點的由來. 當然$\mathbb{R}^2$是沒有這個點的.
這個點是一個虛擬的點.

Ideal points and the line at infinity.

• 我們把所有的$(a,b,0)^{T}$叫做理想點.

• 無窮遠出的直線表示位$\mathbf{l}_{\infty}=(0,0,1)^T$,

  • 所有無窮遠點都在直線$\mathbf{l}_{\infty}$上
    $\mathbf{l}_{\infty}^T(a,b,0)^T=0$

  • 所有直線和$\mathbf{l}_{\infty}$相交於,無窮遠點上.
    相互平行的直線,相交$\mathbf{l}_{\infty}$於同一點.

在projective space裏面是不會區分無窮遠點和無窮遠直線的,
我們把他們和一般點和一般直線一視同仁.

A model for the projective plane

這一小節,是最有直觀意義的一小節. 如何在3D空間中來可視化, Projective
space $\mathbb{P}^2$.

1. 可以把3D空間中從原點發出的射線看做$\mathbb{P}^2$中的一個點.
   這是一個等價類.

2. 可以把3D空間中經過原點的平面看做$\mathbb{P}^2$中的直線.
   它是一個等價類.

   • 兩條射線決定一個平面.

   • 兩個平面相交於一條射線.

3. 實際的2D空間的直線和點的值,可以在3D空間中用平面$x_3=1$同射線和平面相交可得.詳情如圖.

4. 其中$\mathbf{l}_{\infty}$就是平行於$x_3=1$的過原點的平面.

5. 另外無窮遠點也就是$\mathbf{l}_{\infty}$上的射線.
   他們自然也都平行於$x_3=1$

Duality

再其次座標中, 我們可以很明顯的看到點和線之間的是可以交換的. 也就是說,
交換變量的定義, 理論任然成立.