(高等代數)ch03

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33. 定義:n元有序數組$K^n$加上上面定義的加法和數乘.如果再加上下面8條法則.則$K^n$構成一個n維向量空間.

    • $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}$

    • $(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})+\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}+(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma})$

    • $\mathbf{0}+\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}+\mathbf{0}=\boldsymbol{\alpha}$

    • $\alpha+(-\alpha)=(-\alpha)+\alpha=0$

    • $1\alpha=\alpha$

    • $kl\alpha=k(l\alpha)$

    • $(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$

    • $k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$

34. 定義:子空間

    • 加法封閉

    • 數乘封閉

35. 如果向量組線性無關,如果每個向量添加m個分量.則新向量組仍然線性無關.

36. 如果向量組線性相關,那麼去掉m個分量,向量組仍然線性相關.

37. $K^n$中任意$n+1$組向量線性相關.

    • 這個可以用線性方程組來解釋.

    • 任何線性方程都可以變化爲階梯矩陣.形如 $\left( \begin{array}{ccccccc} a_{11} & 0 & 0 & a_{14} & a_{15} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & 0 & a_{24} & a_{25} & \cdots & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34} & a_{35} & \cdots & a_{3n} \end{array} \right)$

    • 後面從$4 \rightarrow n$皆是自由變量. 所以必定有非0解.

38. 定義:向量組的極大線性無關組的向量個數是爲秩.

39. 主對角佔優矩陣: $A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right)$ $|a_{ii}|>\sum_{j=1, j\neq i}^{n}|a_{ij}|$

40. 矩陣的行秩等於列秩.

    • 進行矩陣階梯化.

    • $\left( \begin{array}{cccccccccc} 0 & \cdots & 0 & c_{1j_1} & \cdots & c_{1j_2} & \cdots & c_{1j_r} & \cdots & c_{1n} \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & c_{2j_2} & \cdots & c_{2j_r} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & & \vdots& \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots\\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & c_{rj_r} & \cdots & c_{rn} \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots &\vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \end{array} \right)$

    由此可見行秩等於列秩.

41. 非零矩陣的秩等於不爲零的餘子式的最高階次數.

42. 如果矩陣的秩爲r,則行列式不爲0的r階餘子式所在列或行構成一組極大線性無關組.

43. 線性方程有解的衝要條件是,曾廣矩陣和係數矩陣具有相同的秩.

    • 如果不同就會出現
      $\left( 0_1, 0_2, \cdots, 0_n \right)=c , c\neq 0$

    • 很明顯這種方程無解.

44. 齊次線性方程組的解.

    $\left( \begin{array}{cccccccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m} \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots& a_{nn} & b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nm} \end{array} \right)$

    • 自由變量$\left( b_1, b_2, \cdots, b_n \right)$,可以導出基礎解系.

    • 這個基礎解系列構成一個子空間W,這個子空間就是原矩陣的right NULL
      space.原矩陣A可以把這個W空間中的向量映射到0向量.

45. 非齊次線性方程組的解.

    • 無解的情況.係數矩陣的秩小於曾廣矩陣的秩.

    • 如果有解.我們也可以把係數轉換爲下面的矩陣

      $\left( \begin{array}{cccccccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m} \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots& a_{nn} & b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nm} \end{array} \right)$

    • 令$\left( b_1, b_2, \cdots, b_n \right)$都等於0.可以求出一組特解.

    • 然後按照上面提到44解出解系W.然後就可以了.

46. 線性流形(非齊次線性方程組的解實際上就是一個線性流形)
    $\{\gamma_0+\eta| \eta\in W\}$

    就是一個線性流行.舉個例子來說,如果3維空間中.齊次解是一個過原點的平面.注意只有過原點的平面纔會成爲一個線性空間.二加上一個非0向量可以使平面發生一個位移.那麼這個平面就不包含0點.就不成爲一個向量子空間.如此一來.這就是線性流形的例子.