(高等代數)ch05

92. 等價關係(1.反身性 2.對稱性 3.傳遞性)

93. 劃分 $U=U_1\cup U_2 \cup \cdots U_n$
    $U_i\cap U_j=\varPhi , i\neq j$

94. 相抵(如果A經過一系列行變換和列變換可以變換到B).那麼$A\sim B$也就是相抵.

95. 相抵是一個等價類.

96. $A_{s\times n}$
    $P_tP_{t-1}\cdots P_1AQ_1Q_2\cdots Q_m=B \Rightarrow PAQ=B$
    其中,P是s級可逆矩陣.Q是n級可逆矩陣.

97. 如果A的秩爲r那麼 $\left( \begin{array}{cc} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$ 叫做A的相抵標準型.

98. 廣義逆矩陣.

    $AA^{-1}A=A \Rightarrow AXA=A$

    解出X,那麼X就是廣義逆.

99. $A=P\left( \begin{array}{cc} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)Q$ $X=Q^{-1}\left( \begin{array}{cc} I_r & B \\ C & D \end{array} \right)P^{-1}$ B,C,D可以任意指定.其中X就是廣義逆.

100. 如果$Ax=\beta$有解.那麼 $X=A^{-}\beta$

101. 齊次線性方程組$AX=0$的通解爲 $X=(I_n-A^{-}A)Z$
     Z是$K^n$中任意一個列向量.

102. Moore-Penrose方程組 $\left\{ \begin{aligned} AXA=A\\ XAX=X\\ (AX)^{*}=AX\\ (XA)^{*}=XA \end{aligned} \right.$
     其中$A^{*}$是共軛轉置.這個方程組的解稱作$A^{+}$叫做Moore-Penrose廣義逆.

103. 如果A是複數域上面的非0矩陣.Penrose廣義逆總是有解,且解唯一.

104. 相似矩陣定義,如果兩個n級矩陣A,B.以及存在一個n級的可逆矩陣使得
     $P^{-1}AP=B$ 那麼,我們稱A,B相似.

105. 跡的定義 $tr(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$

106. 跡的性質
     $tr(A+B)=tr(A)+tr(B)$
     $tr(kA)=ktr(A)$
     $tr(AB)=tr(BA)$

107. 相似矩陣有相同的跡.

108. A可對角化的定義是
     $P^{-1}AP=diag\{\left( \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n \right)\}$

109. 如果A相似於一個對角矩陣.那麼A可對角化.

110. 特徵值,特徵向量 $Av=\lambda v$

111. 特徵方程$|\lambda I -A|=0$的根是特徵值.

112. $\lambda_0$的特徵向量爲以下方程的解 $(\lambda_0I-A)X=0$

113. 相似矩陣有相等的特徵多項式.
     $|\lambda I -B|=|\lambda I -P^{-1}AP|=|P^{-1}(\lambda I-A)P|=|\lambda I -A|$

114. 對於$|\lambda I -A|$是一個n次多項式.那麼 $-tr(A)$
     是$\lambda^{n-1}$的係數.常數項爲. $(-1)^n|A|$
     而$\lambda^{n-k}$是A的所有k階主子式的和乘以$(-1)^k$.

115. $tr(A)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i$,$|A|=\prod_{i=1}^n\lambda_i$

116. 幾何重數:$\lambda_i$特徵子空間的維數.

117. 代數重數:$\lambda_i$重根的個數.

118. $\lambda_i$的幾何重數不超過代數重數.

119. 正交矩陣的特徵值爲1或-1 $Av=\lambda v$
     $(v^TA^T)Av=(\lambda v^T)(\lambda v) \Rightarrow ||v||=\lambda^2 ||v||$

120. A
     可以對角化的充分必要條件是,A有n個線性無關的特徵向量$\left( \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \right)$,此時
     $P=\left( \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \right)$
     $P^{-1}AP=diag\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots, \lambda_n\}$ 簡要證明:
     $P^{-1}AP=P^{-1}P\left( \begin{array}{c} \lambda_1 \\ \lambda_2\\ \vdots\\ \lambda_n \end{array} \right)$

121. 不同特徵值的特徵向量之間線性無關.
     假設$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s+l_1\beta_1+l_2\beta_2+\cdots+l_r\beta_r=0$
     $A(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s+l_1\beta_1+l_2\beta_2+\cdots+l_r\beta_r)=0$
     $k_1\lambda_1\alpha_1+k_2\lambda_1\alpha_2+\cdots+k_s\lambda_1\alpha_s+l_1\lambda_2\beta_1+l_2\lambda_2\beta_2+\cdots+l_r\lambda_2\beta_r$

因爲$\lambda_1\ne \lambda_2$,假設$\lambda_1\ne 0$
$k_1\lambda_1\alpha_1+k_2\lambda_1\alpha_2+\cdots+k_s\lambda_1\alpha_s+l_1\lambda_1\beta_1+l_2\lambda_1\beta_2+\cdots+l_r\lambda_1\beta_r=0$

兩式相減.
$l_1(\lambda_2-\lambda_1)\beta_1+l_2(\lambda_2-\lambda_1)\beta_2+\cdots+l_r(\lambda_2-\lambda_1)\beta_r=0$

因爲$\beta_1,\beta_2,\cdots, \beta_r$線性無關.所以.上面推出矛盾.

122. A不同特徵值的特徵向量所組成的集合,線性無關.

123. A可以對角化的充分必要條件是A有n個線性無關的特徵向量.

124. 二次曲面舉例 $x^2+4y^2+z^2-4xy-8xy-4yz-1=0$

125. 如果一個矩陣可以把一個二次曲面變成標準型.那麼這個矩陣一定是正交陣.
     $\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)=M\left( \begin{array}{c} x^{*} \\ y^{*} \\ z^{*} \end{array} \right)$ $(x^{*}, y^{*}, z^{*})M^TAM\left( \begin{array}{c} x^{*} \\ y^{*} \\ z^{*} \end{array} \right)$ 其中$D=M^TAM^T$,是一個對角矩陣.

126. 正交相似:如果存在一個正交陣$M$使得$M^{-1}AM=B$.
     那麼就稱A正交相似於B.

127. 實對稱矩陣,特徵多項式的每一個根都是實數.從而可以推斷實對稱矩陣含有n個特徵值.繼而有n個非線性相關的特徵向量.

     $A\alpha=\lambda\alpha$

     $\overline{A\alpha}=\overline{\lambda\alpha}\Rightarrow A\overline{\alpha}=\overline{\lambda}\overline{\alpha}$

     $\alpha^TA\overline{\alpha}=\overline{\lambda}\alpha^T\overline{\alpha}$

$\alpha^TA\overline{\alpha}=\lambda\alpha^T\overline{\alpha}$

上面兩個式子相減可得
$(\overline{\lambda}-\lambda)\alpha^T\overline{\alpha}=0$

由此課件$\overline{\lambda}-\lambda=0$,故而,$\lambda$是實數.

128. 實對象矩陣,屬於不同特徵值的特徵向量是正交的. $\left. \begin{aligned} \lambda_1(\alpha_1,\alpha_2)=(\lambda_1\alpha_1,\alpha_2)=\alpha_1^TAa_2\\ \lambda_2(\alpha_1,\alpha_2)=(\alpha_1,\lambda_2\alpha_2)=\alpha_1^TAa_2\\ \end{aligned} \right.$ 上下相減,可得證.

129. 實對稱矩陣正交相似於對角矩陣.(實對稱矩陣一定可以對角化)

130. 如果一個n級矩陣A正交相似於一個對角陣D,那麼A一定是對稱矩陣.

131. n級實對稱矩陣正交相似的充分必要條件是他們相似.

132. $e^{A}=\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{A^m}{m!}$

133. $e^{A+B}\neq e^Ae^B$, 通常是不等的.

134. 對於任意一個n級實矩陣A,$e^A$可逆,$(e^A)^{-1}=e^{-A}$

135. 如果A是n級斜對稱矩陣,那麼$e^{A}$是正交矩陣.

136. 我們來看 $A=\left( \begin{array}{cc} 0 & x \\ -x & 0 \end{array} \right) \Rightarrow e^A=\left( \begin{array}{cc} cos(x) & sin(x) \\ -sin(x) & cos(x) \end{array} \right)$

137. $e^{P^{-1}AP}=P^{-1}e^{A}P$
     $e^{P^{-1}AP}=\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(P^{-1}AP)^m}{m!}=\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{P^{-1}A^mP}{m!}$