二次型化標準形的五種方法

1. 配方法

用配方法化二次型爲標準形的關鍵是消去交叉項，分如下兩種情況：

• 情形1：如果二次型${f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }$含某平方項，如 x₁的平方項，且 ${a\mathop{{}}\nolimits_{{11}}\text{ } \neq \text{ }0}$ ， 則合併二次型中含 x₁ 的所有交叉項，然後與 x₁² 配方，並作非退化線性變換爲：

  ${y\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ }=\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{11}}x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ }+\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{12}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ }+\text{ } \cdots \text{ }+\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{nn}}x\mathop{{}}\nolimits_{{n}}}\\ {y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}}\\ { \vdots }\\ {y\mathop{{}}\nolimits_{{n}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{n}}}$

• 得 ${f\text{ }=\text{ }d\mathop{{}}\nolimits_{{1}}y\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}\text{ }+\text{ }g \left( y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }y\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }$ , 其中 ${g \left( y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }y\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }$ 是 ${y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }y\mathop{{}}\nolimits_{{n}}}$ 的二次型。對於 ${g \left( y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }y\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }$ 重複上述方法，直到化爲二次型 f 爲標準形爲止。

例1：${f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{4}} \right) }$ = ${x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+4x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}-2x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{4}}+3x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}-}$${2x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}-6x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{4}}+2x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}x\mathop{{}}\nolimits_{{4}}+4x\mathop{{}}\nolimits_{{4}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}$ 用配方法將上式化爲標準形，並寫出所作的非退化線性變換及其矩陣。

注：此題中它的標準形爲 ${f=z\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}-z\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+z\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}$,它還是四元二次型，只是${z\mathop{{}}\nolimits_{{4}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}$的係數爲零，所作的線性變換式(2)必須有 y₄ = z₄ 項，否則不是非退化線性變換。

• 情形2：如果二次型${f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }$不含平方項，即 a_ij=0，但含某一個 a_ij ≠ 0（i ≠ j），則可做非退化線性變換

  x_i = y_i + y_j
  x_j = y_i - y_j , (k=1,2,….,n ; k ≠ i , j)
  x_k = y_k

• 把 f 化爲一個含有平方項 y_i² 的二次型，再用情形1的方法將其化爲標準形。

例2：${f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}+x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}+x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\right. \right. }$,用配方法將此式化爲標準形，並寫出所用的非退化線性變換。

2. 初等變換法

初等變換法如下：

1. 第一步寫出二次型的矩陣 A，並構造 2n×n 矩陣 ${A \choose E}$
2. 對 A 進行初等行變換和同樣的初等列變換（不可交換兩行或兩列的位置），把A化爲對角矩陣D，並對E施行與A相同的初等列變換（切記E並不進行初等行變換），將E化爲矩陣C，此時 C’AC = D
3. 第三步寫出非退化線性變換 x = Cy，化二次型爲標準形 f = y’Dy

補充 ，若第一步構造 n×2n矩陣 (A E)，則第二步將A化爲對角矩陣D，並對E施行與A相同的初等行變換 ，將E化爲矩陣C，此時C不是我們需要的非退化矩陣！！！對矩陣C進行轉置 得到 矩陣F = C’ ，此時矩陣F纔是我們求的非退化矩陣！ F’AF = D

例3：用非退化線性替換化 ${f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}},x\mathop{{}}\nolimits_{{2}},x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+2x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}+\right. \right. }$${2x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+4x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}+4x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}$ 爲標準形，並利用矩陣驗算所得結果。

3. 正交變換法

主軸定理 ： 任給二次型${f={\mathop{ \sum }\limits_{{i,j=1}}^{{n}}{a\mathop{{}}\nolimits_{{ij}}x\mathop{{}}\nolimits_{{i}}x\mathop{{}}\nolimits_{{j}}\text{ } \left( a\mathop{{}}\nolimits_{{ij}}=a\mathop{{}}\nolimits_{{ji}} \right) }}}$,總有正交變換 x = Py，使 f 化爲標準形 ${{f= \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{1}}y\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+ \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{2}}y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}+ \cdots + \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{n}}y\mathop{{}}\nolimits_{{n}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}$ ，其中 ${ \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{1}}, \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{2}}, \cdots , \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{n}}}$ 是矩陣 A = (a_ij) 的特徵值

步驟如下：

1. 寫出二次型的矩陣 A
2. 求出 A 的特徵值，得${ \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{1}}, \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{2}}, \cdots , \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{n}}}$
3. 求出對應的特徵向量
4. 將特徵向量作施密特正交變換，得到正交的特徵向量
5. 將正交的特徵向量單位化
6. 將這些單位化向量排成矩陣，得到正交矩陣 Q

例4：用正交變換化二次型爲標準形，並求出所用的正交變換${f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}},x\mathop{{}}\nolimits_{{2}},x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+4x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}\right. \right. }$${-4x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}-8x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}-4x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}}$

4. 偏導數法

例5：將二次型 ${f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}},x\mathop{{}}\nolimits_{{2}},x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =-4x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}+2x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}+2x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\right. \right. }$ 化爲標準形，並寫出所作的非退化線性變換。

5. 順序主子式法

這種方法限制很大，第一：二次型的前n-1個順序主子式可能出現0。第二：該方法不能直接算出非退化的變換矩陣。

例6：將二次型 ${f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}},x\mathop{{}}\nolimits_{{2}},x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+5x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}-4x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\right. \right. }$ 化爲標準形。