Matlab 計算 FFT 的方法及幅值問題

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https://blog.csdn.net/qq_29225913/article/details/105467006

1、Matlab FFT 函數介紹

  FFT (Fast Fourier Transform) 中文爲快速傅里葉變換，作用是將離散的時域信號變換到頻域，在一般情況下，時域信號都比較難看出特徵，但是轉換成頻域後，就比較容易看出來，因此，很多信號分析都會採用FFT變換，然後對信號進行頻譜分析。
  Matlab 中，FFT 函數的語法如下：
  Y = fft(X)
  Y = fft(X,n)
  Y = fft(X,n,dim)
推薦直接在命令行使用 help fft看到更加詳細的描述信息與例程，這裏主要記錄一下用法以及注意事項。
  N個採樣點，經過FFT之後，就可以得到N個點的FFT結果。爲了方便進行FFT運算，通常N取2的整數次方，但是這裏直接取讀取出來的樣本數作爲N。

• FFT 計算公式如下：
  
• Xk 長度與 N 相同。
• 根據奈科斯特定律，只有 f=fs/2 範圍內的信號纔是被採樣到的有效信號，因此得到的頻譜肯定是關於 N/2 對稱的（就是隻看前一半的波形就好）。
• 第k點的實際頻率的計算爲 f(k) = k * (fs / n) — — (橫軸的頻率範圍爲 ：f = n * fs / N;)
• X[0] 爲直流分量 ，幅值 = 模值(X[0]) / N
• X[k] 爲個點的頻率分量（除X[0]外），幅值 = 模值(X[k]) / (N / 2)

2、Matlab FFT 程序

• 先擺上代碼，運行一下看效果。

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  %   功能：FFT 運用方法（例程）                  % 
  %   作者：Mr-Ma Technology(馬健維)             %
  %   時間：2020.04.12                           %
  %   轉載請註明出處                             %
  %   https://blog.csdn.net/qq_29225913/article/details/105467006                
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  %% 描述
  % 使用 Matlab 的 FFT，有一個注意事項，採樣數量是採樣頻率的整數倍，且最好是 2 的 n 次冪。
  % 否則會導致採樣分辨率匹配不上，表現爲在對應的頻點處沒有采樣到，出現偏移，因此會導致
  % 描繪圖像時，發現所需要的頻點處顯示出來的幅度值小於預期的值。
  % 可以通過修改參數定義的值得定義來直觀的看FFT的效果
  
  %% 參數定義
      A1 = 2;             % 信號1 幅值（A）
      f1 = 11;            % 信號1 頻率（f）
      A2 = 0.5;           % 信號2 幅值（A)
      f2 = 29;            % 信號2 頻率（f)
      A3 = 1;             % 信號3 幅值（A)
      f3 = 51;            % 信號3 頻率（f)
      Dc = 0;             % 直流分量
      Noise = 0;          % 噪聲大小
      fs = 128;           % 採樣頻率 （fs）
      N = 1024;           % 採樣點數（樣本數量）
  
   %% 運算（生成時域曲線、FFT計算）
      n = 0:N-1;          % 等差生成序列，
      t = n / fs;         % 時間序列，用於下式
      RA = rand(1,N);     % 隨機噪聲（0~1）
      RA = RA - mean(RA); % 減去噪聲均值（-0.5~0.5）,去除噪聲中的直流分量。
      x = Dc + A1 * sin(2*pi*f1*t) + A2 * sin(2*pi*f2*t) + A3 * sin(2*pi*f3*t)+ Noise * RA ; % 兩個正弦信號、直流分量、噪聲 相疊加    
     
      y = abs(fft(x,N));  % 對上式進行 N 點 FFT 計算 ，並取模值
      A = y * 2 / N;      % 模值轉換爲幅值 
      A(1) = A(1) / 2;    % 根據公式 ，X[0] 不用乘以 2 
      f = n * fs / N;     % 轉換爲頻率區間
      
  %% 繪圖
      subplot(2,1,1);
      plot(t,x);
      xlabel('時間/s');ylabel('振幅');
      title('時域曲線') 
      subplot(2,1,2);
      plot(f(1:N/2),A(1:N/2)); % 描繪圖像 
      xlabel('頻率/Hz');ylabel('振幅');
      title(['幅頻特性曲線 :Fs = ',num2str(fs),', N = ',num2str(N)]) 
  

• 運行圖片：
  

3、FFT 程序分析

  通過運行上面的代碼，可以得到與上圖一致的運行效果，該程序中，原函數是由 直流分量、信號1、信號2、信號3、噪聲分量 疊加而成的（上圖中暫時將直流分量與噪聲分量設置爲0），在實際工程使用中，將例程中生成的原函數替換成需要進行分析的序列就可以了。
  上面的圖片中，每一個信號的幅值就剛好等於所設置的振幅，此處有一個地方需要注意的就是，一般情況下，採樣點 N 都不固定，都是隨輸入的因素影響，例如對一首採樣率爲 44.1KHz 的歌來分析，讀取出來的數據長度 N 就不一定是 2 的n次方了，如果直接送入進行 FFT 計算，到 N 點結算數據，在FFT內由於使用蝶形運算，所以是需要 N 是 2 的 n 次方，因此會導致在 N 個採樣點後方補零， 可能在某些頻點出看到的賦值，會比預想值要小，這就是能量泄露。如果只需要考慮各頻譜值得比例（即只看頻率分佈情況），不考慮實際 FFT 後的幅值的話，可以直接傳入N進去，如果需要進行頻譜分析，就要要考慮實際的幅值對分析結果的影響，此處就可以選擇加窗，還有一種情況就是 N 足夠大，並且是均勻分佈，就可以考慮截取 N 的值，使得滿足 N 等於 2 的 n 次方。

3.1 fs 、N 對 FFT 圖像幅值的影響。

  上述程序中，fs = 128；N = 4096；（N 是 fs 的整數倍，且 N 是 2 的 n 次方），下面來分析下不同的 fs 與 N 對實際 FFT 結果的影響。

• 1、 fs = 100，N = 100（這個情況下，信號 3 不滿足 fs ≥ 2f 的情況，因此信號 3 不會顯示出來）
  
• 2、 增大 N ，fs = 100，N = 150，由於補零了，所以存在能量泄漏，計算出來的幅值會變小。
  
• 3、 增大Fs，fs = 200，N=150，此時由於 N 與 fs 仍然是非整數倍關係，且樣本數量不足夠大，導致分辨率不足，使得不能夠將所有的頻率都能夠對應上，造成頻率泄漏，導致幅值變小。
  
• 4、 繼續加大 N ，直接擴大10倍，fs = 200，N = 1500，可以觀察到隨着樣本數量增加的時候，幅頻特性曲線會變窄，與實際的頻率越接近，即精度越高。但是由於 fs 與 N 仍然非整數倍關係，因此仍然會有上一點存在的問題。
  
• 5、 這一步，減少 N ，但是設置爲 fs 的整數倍（往上滑，與第1點對比），fs = 100， N = 200，可以看出，與第 1 點對比的時候，幅值依然是實際值，但是精度更高了（由於N 的數多了一倍）
  
• 6、 （對照組）擴大 N 爲 fs 的 2 倍（與第 3 、5 點對比）fs = 200，N= 400，因爲同樣 N 是 fs 的整數倍，幅值爲實際值。
  
• 7、 最後，設置 fs、N 均爲 2 的 n 次方，這裏的 fs 根據最高信號頻率來選擇即可，比如信號 3 是頻率最高的信號（51Hz），因此 fs 選擇128，N儘量的大，因此 N 選擇 4096，此時時域信號中的頻率信息，都能夠很好的表示出來。
  

3.2 直流分量、噪聲分量對 FFT 圖像的影響

在這一節考慮將直流分量，與噪聲信號加入，通過改變以下兩項來加入。其他值使用默認的參數(fs = 128，N = 1024)

• 設置直流分量爲1，可以看到 FFT 圖像 x = 0 處有一個直流分量。(實際使用中，直流分量對信號的分析用處不大，所以一般都會將此值設爲0，或者將 用 x = x - mean(x)的方法，將直流分量過濾掉)
  按照直流分量的計算公式，需要在程序裏對該值進行修改（幅值 = 模值 / N ； 當 x = 0)
  
• 修改噪聲分量的值 爲10，（即疊加一個 幅度爲 ±5 的噪聲信號），使用噪聲前，需要對噪聲進行消除直流處理。
  
  可以看出來，在時域的圖像上，已經看不清信號的內容了，但是在頻域上，仍然能夠分辨的出有3個主要信號，並且在採樣範圍內，均勻分佈着噪聲信號。後面可以通過設計帶通濾波器，將3個有用信號的頻段提取出來，其他頻段的信號進行過濾，在利用 IFFT 還原出降噪後的波形。
  

3.3 總結

• 在能夠自己選定 fs 的情況下，儘量選擇 fs 爲 2 的 n 次方，且 N 取 fs 的倍數，這樣可以在幅頻特性曲線上，得到與實際相符的幅度值。
• fs 固定的情況下，（如音頻文件，44.1K/48K/…）,不能修改fs，則選擇 N 爲 fs 的整數倍，通常這種情況下 N 的數量都會足夠大，因此 N 向前截取（即N值 ≤ 實際採樣點）默認信息是隨機分佈，最後的一節信號不會對整體的頻譜產生較大的影響。（若要考慮全部採樣點，則可忽略對實際幅值的影響，實際幅值不一定需要）
• 疊加噪聲的分析，可以轉換到頻域上進行處理。