《C算法》讀書筆記 （4）：Hello，Joseph！

P67, 3-8 約瑟夫問題

上一篇文章中提到了使用鏈表模擬約瑟夫問題求解。約瑟夫問題是這樣的 ：假設有N個人決定選出一名領導，將所有人排成一個圓周，從1編號到N。現在從1開始，數M個人，最後的M出列。重複上述步驟，直到只剩下一個人，該人即爲領導。
首先定義鏈表的數據結構：

typedef struct node *link;
struct node 
{
    int item;
    link next;
};

將node稱爲節點。現要刪除節點p->next，只需要使p->next=p->next->next。

void sim_joseph()       // 鏈表模擬
{
    link p, t;
    t = p = (link)malloc(sizeof(node)), p->item = 1, p->next = p;
    for(int i = 2; i <= n; ++ i)
    {
        p = (p->next = (link)malloc(sizeof(node)));
        p->item = i;
    }
    p->next = t;

    for(int i = 0; i < n - 1; ++ i)     // n - 1 times execute
    {
        for(int j = 0; j < m - 1; ++ j)
            p = p->next;
        //printf("%d is killed\n", p->next->item);
        t = p->next;
        p->next = p->next->next;
        free(t);
    }
    printf("%d remains alive\n", p->item);
    free(p);
}

---

顯然，該算法的複雜度爲O(N∗M)
有沒有更好的算法？答案是肯定的。
假設有一個N=6，M=2的樣例，也就是6個人圍成一圈，每次報2個數，直到最後一個人。
樣例的流程如下：

爲了便於理解，我們將N=6，5，4時的最後一個人先利用鏈表法計算出來：
N=5，M=2時，最後的結果爲3，記F(5,2)=3
同理得，F(4,2)=1 ，F(6,2)=5
將所有編號減1（爲了計算的簡便性，此時F(5,2)=2 ，F(6,2)=4），分析第一步：

在1號選手被淘汰出局後，剩下的五人實際上重新組成了一個新的約瑟夫問題F(5,2) ，唯一的區別就是，新一局的選手0在上一局裏面編號爲2，選手1在上一局編號爲3，以此類推。可以建立一個映射關係：

H(x)=(H˜(x)+M)modN

其中H˜(x) 代表新一局裏面的編號，N 爲當前問題人數

易見，在5人問題中最後的勝者2，在6人問題中編號爲4。
同理，在4人問題中最後的勝者1，在5人問題中編號爲3。

如此遞推，存在邊界：1人問題最後勝者爲0。從1人問題依次反推就得到解。
該算法的複雜度爲O(N)

完整的程序如下：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef struct node *link;
struct node 
{
    int item;
    link next;
};
int n, m;

void linear_joseph()    // 遞推
{
    int ans = 0;
    for(int i = 2; i <= n; ++ i)
    {
        ans = (ans + m) % i;
    }
    printf("linear shows %d remains alive\n", ans + 1);
}

void sim_joseph()       // 鏈表模擬
{
    link p, t;
    t = p = (link)malloc(sizeof(node)), p->item = 1, p->next = p;
    for(int i = 2; i <= n; ++ i)
    {
        p = (p->next = (link)malloc(sizeof(node)));
        p->item = i;
    }
    p->next = t;

    for(int i = 0; i < n - 1; ++ i)     // n - 1 times execute
    {
        for(int j = 0; j < m - 1; ++ j)
            p = p->next;
        //printf("%d is killed\n", p->next->item);
        t = p->next;
        p->next = p->next->next;
        free(t);
    }
    printf("sim shows %d remains alive\n", p->item);
    free(p);
}

int main()
{
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);

    while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
    {
        sim_joseph();
        linear_joseph();
    }

    return 0;
}