[BZOJ 4589] Hard Nim

一、題目

Claris和NanoApe在玩石子游戲，他們有n堆石子，規則如下：

• Claris和NanoApe兩個人輪流拿石子，Claris先拿。
• 每次只能從一堆中取若干個，可將一堆全取走，但不可不取，拿到最後1顆石子的人獲勝。

不同的初始局面，決定了最終的獲勝者，有些局面下先拿的Claris會贏，其餘的局面Claris會負。
Claris很好奇，如果這n堆石子滿足每堆石子的初始數量是不超過m的質數，而且他們都會按照最優策略玩遊戲，那麼NanoApe能獲勝的局面有多少種。
由於答案可能很大，你只需要給出答案對10^9+7取模的值。

二、解法

此題就是求異或和爲$0$的方案，其實就是將一個數列（初始只有質數位上有$1$）來做$xor$卷積：
$C_k=\sum_{i\oplus j=k}A_iB_j$顯然就是$\text{fwt}$的形式了，有$n$堆石子就卷積$n$次，都是自己卷自己，在正向變換後直接做快速冪就行了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int M = 100005;
const int MOD = 1e9+7;
#define int long long
int read()
{
    int num=0,flag=1;char c;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;
    while(c>='0'&&c<='9')num=(num<<3)+(num<<1)+(c^48),c=getchar();
    return num*flag;
}
int n,m,len,cnt,vis[M],p[M],a[M],inv2=(MOD+1)/2;
void sieve(int n)
{
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i]) p[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt && i*p[j]<=n;j++)
		{
			vis[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0) break;
		}
	}
}
int qkpow(int a,int b)
{
	int r=1;
	while(b>0)
	{
		if(b&1) r=r*a%MOD;
		a=a*a%MOD;
		b>>=1;
	}
	return r;
}
void fwt_xor(int *a,int n,int op)
{
	for(int i=1;i<n;i<<=1)
		for(int p=i<<1,j=0;j<n;j+=p)
			for(int k=0;k<i;k++)
			{
				int x=a[j+k],y=a[i+j+k];
				a[j+k]=(x+y)%MOD;
				a[i+j+k]=(x+MOD-y)%MOD;
				if(op==-1)
				{
					a[j+k]=a[j+k]*inv2%MOD;
					a[i+j+k]=a[i+j+k]*inv2%MOD;
				}
			}
}
signed main()
{
	sieve(50000);
	while(~scanf("%lld %lld",&n,&m))
	{
		memset(a,0,sizeof a);len=1;
		for(int i=1;i<=cnt && p[i]<=m;i++)
			a[p[i]]=1;
		while(len<=m) len<<=1;
		fwt_xor(a,len,1);
		for(int i=0;i<len;i++) a[i]=qkpow(a[i],n);
		fwt_xor(a,len,-1);
		printf("%lld\n",a[0]);
	}
}