[學習筆記]快速沃爾什變換 (FWT)

FWT的簡介

一般$\text{FWT}$用來解決一下問題：

• $C_k=\sum_{i|j=k}A_iB_j$
• $C_k=\sum_{i\&j=k}A_iB_j$
• $C_k=\sum_{i\oplus j=k}A_iB_j$

實現的大概思路就是就是先把他們轉化成$\text{fwt(A)}$（類似$\text{FFT}$的點值表達），然後對應爲相乘，最後在還原爲多項式（整個過程很類似與快速傅里葉變換）

or 卷積

現在要做到這個的快速卷積：$C_k=\sum_{i|j=k}A_iB_j$

定義$A|B$爲多項式的$\text{or}$卷積，顯然 $A|B=B|A$（交換律），$(A+B)|C=A|C+B|C$（結合律）

定義$fwt(A)[k]=\sum_{i|k}A_i$，因爲我們要讓$fwt(C)=fwt(A)\times fwt(B)$，這個基於的原理就是若$i|k=k$，$j|k=k$，就能推出$(i|j)|k=k$，那麼原來是$k$子集的或之後還是$k$子集。

現在我們來研究如何計算$fwt(A)$，類似$\text{FFT}$地用分治的方法，設$A_0$爲當前位爲$0$的項，$A_1$就是剩下部分：
$fwt(A)=\begin{cases}(fwt(A_0),fwt(A_0+A_1))& n>0\\A& n=0\end{cases}$根據$fwt(A)$的定義可以知道：$fwt(A+B)=fwt(A)+fwt(B)$，根據定義也可以知道如果最高位爲$1$，那麼就把$fwt(A_0+A_1)$算作$A$的後半部分就可以了，爲$0$的話子集就是$0$

現在我們來證明一下$fwt(A|B)=fwt(A)\times fwt(B)$：
$fwt(A|B)=fwt((A|B)_0,(A|B)_1)\\=fwt(A_0|B_0,A_0|B_1+A_1|B_0+A_1|B_1)\\=(fwt(A_0|B_0),fwt(A_0|B_0+A_1|B_0+A_0|B_1+A_1B_1))\\=(fwt(A_0)\times fwt(B_0),fwt(A_0+A_1)\times fwt(B_0+B_1))\\=(fwt(A_0),fwt(A_0+A_1))\times (fwt(B_0),fwt(B_0,B_1))\\=fwt(A)\times fwt(B)$這裏用到了數學歸納法，首先$n=0$的情況肯定成立，然後我們假設較小的規模成立，以此推導更大的規模（這裏是$\frac{1}{2}$）

最後返回來的$dfwt$就是根據上面的$fwt$設計的，變換如下：
$dfwt(A)=\begin{cases}dfwt(A_0),dfwt(A_1-A_0)&n>1\\A&n=0\end{cases}$

and 卷積

這個和上面的卷積極其類似，直接給出結論：
$fwt(A)=\begin{cases}(fwt(A_0+A_1),fwt(A_0))& n>0\\A& n=0\end{cases}$逆變換如下：
$dfwt(A)=\begin{cases}dfwt(A_0-A_1),dfwt(A_1)&n>0\\A&n=0\end{cases}$

xor 卷積

這就是重頭戲了，我們要解決：$C_k=\sum_{i\oplus j=k}A_iB_j$

先定義$fwt(A)[x]=\sum_{2|d(x\cap i)}A_i-\sum_{2|[d(x\cap i)-1]}A_i$，$d$是二進制$1$的個數，這樣定義是基於一個結論：
$d(x\cap (i\oplus j))=d(x\cap i)+d(x\cap j)-2d(x\cap i\cap j)$考慮每一位的合法性，就可以推知所有情況，這個自己枚舉一下可能的組合就行了，然後：
$fwt(A)[x]\oplus fwt(B)[x]=\sum_{2|d(x\cap i)}\sum_{2|d(x\cap j)}A_iB_j-\sum_{2|[d(x\cap i)-1]}\sum_{2|d(x\cap j)}A_iB_j......$你可以發現如果$d(x\cap i)$和$d(x\cap j)$奇偶性相同的話那麼前面的符號是正，否則前面的符號是負，我們觀察上面的結論，發現$d(x\cap (i\oplus j))$和$d(x\cap i)+d(x\cap j)$的奇偶性相同，恰好就對應了。

現在來考慮正變換，基本思路還是考慮最高位，左半邊的話都選自己和選自己再選對半邊都可以，而且不需要變號，因爲不會產生新的$1$位，兩個都選右半邊的話就需要變號，那麼就這樣算：
$fwt(A)=\begin{cases}(fwt(A_0+A_1),fwt(A_0-A_1))&n>0\\A&n=0\end{cases}$然後逆變化就是：$ifwt(A)=\begin{cases}(\frac{ifwt(A_0+A_1)}{2},\frac{ifwt(A_0-A_1)}{2})&n>0\\A&n=0\end{cases}$
然後貼一個板題的代碼：

#include <cstdio>
const int M = 200005;
const int MOD = 998244353;
int read()
{
    int num=0,flag=1;char c;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;
    while(c>='0'&&c<='9')num=(num<<3)+(num<<1)+(c^48),c=getchar();
    return num*flag;
}
int n,a[M],b[M],A[M],B[M],inv2=(MOD+1)/2;
void fwt_or(int *a,int op)
{
	for(int i=1;i<n;i<<=1)
		for(int p=i<<1,j=0;j<n;j+=p)
			for(int k=0;k<i;k++)
			{
				if(op==1) a[i+j+k]=(a[i+j+k]+a[j+k])%MOD;
				else a[i+j+k]=(a[i+j+k]-a[j+k]+MOD)%MOD;
			}
}
void fwt_and(int *a,int op)
{
	for(int i=1;i<n;i<<=1)
		for(int p=i<<1,j=0;j<n;j+=p)
			for(int k=0;k<i;k++)
			{
				if(op==1) a[j+k]=(a[j+k]+a[i+j+k])%MOD;
				else a[j+k]=(a[j+k]-a[i+j+k]+MOD)%MOD;
			}
}
void fwt_xor(int *a,int op)
{
	for(int i=1;i<n;i<<=1)
		for(int p=i<<1,j=0;j<n;j+=p)
			for(int k=0;k<i;k++)
			{
				int x=a[j+k],y=a[i+j+k];
				a[j+k]=(x+y)%MOD;
				a[i+j+k]=(x+MOD-y)%MOD;
				if(op==-1)
				{
					a[j+k]=1ll*a[j+k]*inv2%MOD;
					a[i+j+k]=1ll*a[i+j+k]*inv2%MOD;
				}
			}
}
void init()
{
	for(int i=0;i<n;i++)
		A[i]=a[i],B[i]=b[i];
}
signed main()
{
	n=1<<read();
	for(int i=0;i<n;i++) a[i]=read();
	for(int i=0;i<n;i++) b[i]=read();
	init();
	fwt_or(A,1);fwt_or(B,1);
	for(int i=0;i<n;i++) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD;
	fwt_or(A,-1);
	for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",A[i]);
	puts("");
	init();
	fwt_and(A,1);fwt_and(B,1);
	for(int i=0;i<n;i++) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD;
	fwt_and(A,-1);
	for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",A[i]);
	puts("");
	init();
	fwt_xor(A,1);fwt_xor(B,1);
	for(int i=0;i<n;i++) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD;
	fwt_xor(A,-1);
	for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",A[i]);
	puts("");
}