複變函數：傅里葉級數、傅里葉變換

一、傅里葉級數

1.1 對週期函數進行分解的猜想

拉格朗日等數學家發現某些週期函數可以由三角函數的和來表示，比如下圖：

而另外一位數學家猜測任意週期函數都可以寫成三角函數之和。

1.2 分解的思路

1.2.1 常數項

根據週期函數的定義，常數函數是週期函數，其週期是任意實數，所以，對於$y=C,C\in R$這樣的常數函數，分解裏面要添加一個常數項與之對應。

1.2.2 其他部分通過$sin(x),cos(x)$進行分解

思路：

• $sin(x),cos(x)$是週期函數，進行合理的加減組合，結果可以是週期函數，且它們的微分和積分都很簡單。
• 任意函數都可以分解成奇偶函數之和：
  $f(x)={f(x)+f(-x)\over 2}+{f(x)-f(-x)\over 2}=f_{even}+f_{odd}$
• $sin(x)$是奇函數，奇函數與奇函數加減永遠是奇函數
• $cos(x)$是偶函數，偶函數和偶函數加減永遠是偶函數

1.2.3 保證組合出來週期爲T

之前提到$f(x)$是週期爲T的函數，那麼怎麼保證組合出來的函數週期仍然爲T呢？
首先，我們知道$sin(x)$的週期爲$2\pi$，$sin(2x)$的週期也是$2\pi$，但是最少週期是$\pi$，很顯然，$sin(x),n\in N$的週期都是$2\pi$。
所以更一般的，如果$f(x)$的週期爲T，那麼$sin({2\pi n\over T}x),cos({2\pi n\over T}x),n\in N$這些函數的週期也爲T，再將這些函數進行加減，就保證了得到的函數週期也爲T。

1.2.4 調整振幅

假如有如下這個函數，週期爲$2\pi$：

現在我們也有一些週期爲$2\pi$的函數，比如$sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x)$：

通過調整振幅可以讓它們慢慢接近目標函數，比如$sin(x)$處處小於目標函數：

將其振幅增大一倍可得：

此時$2sin(x)$有的地方超過去了，所以從週期爲$2\pi$的函數中選擇一個，減去一點，可以得到$2sin(x)-sin(2x)$：

通過調整振幅，加加減減，我們可以慢慢接近目標函數：

1.2.5 綜上，構造出來的三角函數和類似於如下的樣子：

這符合之前的分析：

• 有常數項
• 用奇函數和偶函數組合出任意函數
• 週期爲T
• 調整振幅，逼近原函數

1.3 $sin(x)$的另外一種表示方法

1.3.1 $e^{iwt}$

歐拉公式：
$e^{i\theta}$代表複平面一個夾角爲$\theta$的向量：

當$\theta$不再是常數，而是代表時間的變量t的時候：$e^{i\theta }\to e^{it}$，隨着時間t的增長，$\theta$不斷增大，這個向量就會旋轉起來，$2\pi$的時間會旋轉一圈，這就是$T=2\pi$

1.3.2 通過$e^{iwt}$表示$sin(t)$

根據歐拉公式，有：$e^{it}=cos(t)+isin(t)$，所以，在時間軸t上，把e^{it}向量的虛部（也就是縱座標）記錄下來，得到的就是$sin(t)$：

如果在時間軸t上，把$e^{it}$的實部（橫座標）記錄下來，得到的就是$cos(t)$的曲線：

更一般的，我們認爲有兩種看待$sin(x),cos(x)$的角度：
$e^{iwt}\iff\begin{cases}sin(wt)\\cos(wt)\end{cases}$
這兩種角度，一個可以觀察到旋轉的頻率，所以稱爲頻域；另一個可以看到流逝的時間，所以稱爲時域：

1.4 通過頻域求係數：

假設有這麼一個函數：$g(x)=sin(x)+sin(2x)$是一個$T=2\pi$的函數：

如果轉到頻域去，那麼函數$g(x)$就是下面這個複數函數的虛部：$e^{it}+e^{2it}$

首先看下$e^{i\theta}+e^{i2\theta}$，其中$\theta$是常數，很顯然這是兩個向量之和：

將$\theta$換成流逝的時間t，並將虛部記錄下來：

令$G(t)=e^{it}+e^{i2t}$，這裏用大寫的G來表示複數函數，剛纔看到$e^{it}$和$e^{i2t}$都是向量，所以上式可以寫作：
$\overrightarrow{G(t)}=\overrightarrow{e^{it}}+\overrightarrow{e^{i2t}}$
這裏，從線性代數的角度：

• $e^{it}$和$e^{i2t}$是基
• $G(t)$是基$e^{it},e^{i2t}$的線性組合

$g(t)$是$G(t)$的虛部，所以取虛部的向量分量，很容易得到：
$\overrightarrow{g(t)}=\overrightarrow{sin(t)}+\overrightarrow{sin2t}$，即$g(t)$是基$sin(t),sin(2t)$的線性組合。
那麼$sin(t),sin(2t)$的係數，實際上是$g(t)$在基$sin(t),sin(2t)$下的座標了。

1.4.1 如何求正交基的座標

假設$\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}$，其中，$\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$
通過點積：$\overrightarrow{u}\centerdot\overrightarrow{v}=0$，可知這兩個向量正交，是正交基，通過點積可以算出$\overrightarrow{u}$的係數（對於正交基纔可以這麼做）：
${\overrightarrow{w}\centerdot\overrightarrow{u}\over\overrightarrow{u}\centerdot\overrightarrow{u}}={(-1,5)\centerdot(1,1)\over(-1,1)\centerdot(-1,1)}=2$

1.4.2 如何求$sin(nt)$基下的座標

首先拋出一個結論，函數向量的點積是這麼定義的：
$\overrightarrow{f(x)}\centerdot\overrightarrow{g(x)}=\int_0^Tf(x)g(x)dx$
其中，$f(x)$是函數向量，$g(x)$是基，T是$f(x)$的週期。
那麼對於$g(x)=sin(x)+sin(2x)$，其中$g(x)$是向量，$sin(t),sin(2t)$是基，週期$T=2\pi$。根據剛纔內積的定義：
$\overrightarrow{sin(t)}\centerdot\overrightarrow{sin(2t)}=\int_0^{2t}sin(t)sin(2t)dt=0$，所以這是一個正交基，那麼根據剛纔的分析，可以這麼求座標：

1.4.3 更一般的情況

對於之前的假設，其中$f(x)$的週期爲T：

可以改寫成這樣：

也就是說向量$f(x)$的基爲：

這裏1也是一個基，那麼可以得到：


C也可以通過點積來表示，最終可以得到：

其中：

https://www.matongxue.com/madocs/619.html

二、從傅里葉級數到傅里葉變換

2.1 傅里葉級數

2.1.1 傅里葉級數是向量

從代數上看，傅里葉級數就是通過三角函數和常數項來疊加逼近週期爲T的函數$f(x)$：

這一過過程，實際上是把$f(x)$當作瞭如下基的向量：

那麼上面的式子就可以解讀爲：

以一個例子來說明，比如一個$T=2\pi$的方波$f(x)$，可以粗略的寫作$f(x)\approx1+{4\over\pi}sin(x)$

我們可以認爲$f(x)\approx1+{4\over\pi}sin(x)$這個函數的基爲$\{1,sin(x)\}$，則$f(x)$相當於向量$(1,{4\over\pi})$，畫到圖上如下，注意橫縱座標：

2.1.2 頻域圖

再增加幾個三角函數：

此時從幾何上來看，圖像更爲接近：

這時的基爲：

對應的向量爲：

六維的向量我們是沒有辦法通過座標圖來表示的，因此數學家使用了一個頻域圖來表示這個向量：

上圖中的0，1，2，3，4，5分別代表了不同頻率的正弦波函數，也就是之間的基：
$0Hz\iff sin(0x)\quad3Hz\iff sin(3x)...$
而高度則代表在這個頻率上的振幅，也就是這個基上的座標分量。
這裏舉的例子只有正弦函數，餘弦函數其實也需要這樣一個頻譜圖，也就是需要兩個頻譜圖，此外還有一種結合正弦和餘弦的方式，這個放在後面。

原來的曲線圖就稱爲時域圖，往往把時域圖和頻域圖畫在一起，這樣才能較爲完整的反映傅里葉級數。

不管是時域還是頻域，其實反映的都是同一個直線，只不過一個用了函數的觀點，而另一個用了向量的觀點。

2.2 非週期函數：

以上關於傅里葉級數的說明都是基於週期函數，假如有如下一個非週期函數，那麼傅里葉級數該怎麼處理？

我們可以變換一下思路，如果剛纔方波的週期：
$T=2\pi\to T=\infin$
那麼可以得到一個如下的函數：

在這樣的思路下，就可以使用三角級數來逼近這個函數

觀察下頻域，之前說過，對於週期爲T的函數$f(x)$,其基爲：

剛纔舉的方波$T=2\pi$，對應的基就爲（沒有餘弦波）：

對應的頻率就是：

按照剛纔的思路，如果T不斷變大，比如讓$T=4\pi$，對應的基就爲（沒有餘弦波）：

對應的頻率就爲：

和剛纔相比，頻率更加密集

之前方波的頻域圖，畫了前五十個頻率，可以看到隨着$T$不斷變大，這50個頻率越來越集中：




可以想象，如果真的：$T=2\pi\to T=\infty$，這些頻率就會變得稠密，直至連續，變爲一條頻域曲線：

傅里葉變換就是，讓$T=\infty$，求處上面這根頻域曲線

2.3 傅里葉變換

傅里葉級數是：

這裏有正弦波和餘弦波，畫頻域圖不方便，通過歐拉公式，可以轉變爲複數形式：

其中：

複數形式也是向量，可以理解爲：

週期推向無窮的時候可以得到：

其中$F(w)$：

$F(w)$就是傅里葉變換，得到的就是頻域曲線
下面兩者稱爲傅里葉變換對，可以相互轉換：$f(x)\iff F(w)$，正如之前所說的，這是看待同一個數學對象的兩種形式，一個是函數，一個是向量。

https://www.matongxue.com/madocs/712.html