複數和複函數

複數的引入

• 可以很平凡而繁瑣地，將複數作爲一個數域引入。它是實數域加上虛數i 的擴充域。
• 代數結構 即運算法則，注意乘法法則(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
• 幾何結構 引入複平面，加入無窮遠點成爲C¯¯¯ 。
• 拓撲結構 或分析，刻畫度量。即模和極限。

複數和複平面的刻畫

{z=x+iyz¯=x−iy

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x=z+z¯2y=z−z¯2i

使用(x,y) 可能是因爲習慣於使用實數；使用(z,z¯) 更符合複數習慣，尤其是後面的解析函數特徵就是用(z,z¯) 的表達式中不含z¯ ，這比用(x,y) 的描述還需要用C-R關係加以限制要清晰得多。

用z,z¯ 表示幾何圖形

這其實就是上述的複平面的刻畫問題，直接用上面的變換式就可以得到結論

• 直線的一般方程
  
  Az+A¯z¯+C=0
• 圓的一般方程
  
  (z−c)(z−c)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=R2

複數域的分析性質

這裏主要是指分析上的一些基本概念和命題，包括

• 鄰域
• 開集
• 閉集
• 極限點
• 內點
• 閉包
• 邊界
• 孤立點
• 直徑
• 區域

以及關於複數域拓撲和分析的幾個定理，包括

• Chauchy準則（複數域完備性定理）
• 閉區間套定理
• 開覆蓋定理
• 極限點原理
• Weierstrass-Bolzano定理
• 連通的等價條件

由於這些結論也都是平凡的，不是複變函數論研究的主題，因此忽略。

複函數

• 複函數這個概念的核心應該是值域爲C ，至於定義域，一般是數集C ，當然也可以拓展到向量，到歐式空間，到H,B 空間。

• 極限和連續

複變函數作爲一門學科，和實變函數理論主要不同之處在於函數對復變量的可導性。（教材語）因此，在可導之前的內容，不需要過多着墨。

導數

對實變量的偏導

設

f(z)=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)

如果u(x,y),v(x,y) 在z0=(x0,y0) 處都存在關於x 的偏導數，那麼定義f 對x 的偏導爲

∂f∂x=∂u∂x+i∂v∂x

同理，

∂f∂y=∂u∂y+i∂v∂y

利用(x,y) 和(z,z¯) 的轉換關係，可以得到對z 和z¯ 的形式偏導

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂z=12(∂∂x−i∂∂y)∂∂z¯=12(∂∂x+i∂∂y)

對復變量的導數

如果極限

limz→z0f(z)−f(z0)z→z0=A,A∈C

存在，則稱f(z) 在z0 處可導，A 稱爲f(z) 在z0 處的導數，記作f′(z0) .

微分

如果存在A∈C ，在點z0 處有

f(z)=f(z0)+A(z−z0)+ο(|z−z0|)

那麼稱f 在z0 處可微。

• 複變函數可導等價於可微。

解析函數

定義

• 若f(z) 在點z0 的鄰域內都可導，那麼f(z) 在z0 點解析；
• 若f(z) 在區域Ω 內每一點都可導，那麼f(z) 在區域Ω 內解析，是Ω 內的解析函數。

• Cauchy-Riemann方程
  

  ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂u∂x=∂v∂y∂u∂y=−∂v∂x

• 定理 解析函數滿足Cauchy-Riemann方程

  f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ，從實軸和虛軸兩個方向求極限，可得。

• 方法 證明一個複變函數在某一點不可導（從而不解析）

  用實變量描述，證明從不同方向逼近得到的極限不同。

• 命題 實值函數在區域上解析，一定是常數。

  1. 利用上面的辦法，用實變量描述，證明從實軸和虛軸兩個方向逼近得到的極限一個是實數一個是虛數，從而導數爲0 ，從而是常數。
  2. 或用Cauchy-Riemann方程證明。

• 命題 解析函數如果存在反函數，那麼反函數也是解析函數。

• 命題 如果兩個實函數u,v 滿足C-R方程，那麼f=u+iv 解析。

• 命題 如果f=u+iv 關於u,v 二階連續可導，且f 解析，那麼f′ 也解析。

  f′(z)=∂u∂x+i∂v∂x(極限的唯一性)

• 命題 解析函數f=u+iv 滿足
  

  ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂2u∂x2+∂2u∂y2=0∂2v∂x2+∂2v∂y2=0
  
  或
  
  {∇2u=0∇2v=0
  
  即解析函數的兩個實函數都是調和函數，並且是共軛的。

• 命題 單連通區域Ω 上調和函數唯一地確定另一個共軛的調和函數。（不考慮常數）

• 命題
  

  ∇2=∂2∂x2+∂2∂y2=4∂2∂z∂z¯

• 定理 解析函數的充要條件
  

  ∂f∂z¯=0

• 定理 單連通區域Ω 上的解析函數處處不爲零，且關於實變量x 和y 二階連續可導，則存在Ω 上解析函數g(z) ，使得

  eg(z)=f(z)

• 定理 單連通區域Ω 上的解析函數處處不爲零，且關於實變量x 和y 二階連續可導，則存在Ω 上解析函數g(z) ，對任意的自然數n ，有使得

  g(z)n=f(z)

• 定理 （導數的幾何意義）導數|f′(z0)|2 是映射w=f(z) 關於對應區域的面積比，即映射的Jacobi行列式。

  用C-R關係證明。

• 推論 解析函數導函數處處連續，如果在z0 處導數不爲0 ，則存在 z0 的一個鄰域D ，滿足：(1)f(D) 是開集；(2)f:D→f(D) 是一一映射；(3)f−1:f(D)→D 在f(D) 上解析，且
  

  (f−1)′(w)=1f′(z),w=f(z)
  
  這個推論的應用：如果f 將一個區域映射到一條曲線上，那麼f 一定是常數函數。